Dualitätsabbildung bzgl. der p-Norm im R^2

11.02.2013, 16:40	remus	Auf diesen Beitrag antworten »
Dualitätsabbildung bzgl. der p-Norm im R^2 Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht zu einer Idee und bräuchte daher eure Hilfe. Ich soll die Dualitätsabbildung des Banach-Raumes $\begin{eqnarray} (R^2, \|x\|_p) \end{eqnarray}$ bestimmten. Mit $\begin{eqnarray} \|x\|_p = (\|x_1\|^p + \|x_2\|^p)^{1/p} \end{eqnarray}$ . Dabei ist die Dualitätsabbildung definiert als $\begin{eqnarray} J: X \rightarrow X^ \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} J(x) = \{ f \in X^* : <f,x> = \\|x\\|^2 = \\|f\\|^2_* \} \end{eqnarray}$ . Also es ist hier X = R^2 und X^ ist der Dualraum von X. Ich muss also ein f aus X^* finden sodass $\begin{eqnarray} <f,x> = \|x\|_p^2 = \\|f\\|_^2 \end{eqnarray*}$ . Hat jemand eine Idee wie man das ganze angehen könnte?
11.02.2013, 18:50	remus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualitätsabbildung bzgl. der p-Norm im R^2 Anmerkung: im Post oben ist J(x) keine Menge! Also habe nun folgendes gefunden: Sei $\begin{eqnarray} (X,\\|.\\|) \end{eqnarray}$ ein reeller, reflexiver Banach-Raum und X^* strikt konvex. Dann ist die Dualitatsabbildung gerade die Gateaux-Ableitung von $\begin{eqnarray} \phi : X \rightarrow \mathbb{R}, \phi(x) = \frac{1}{2} \\|x\\|^2 \end{eqnarray}$ . Nun, soweit ich weiß gelten die Vorraussetzungen im R^2, d.h. also ich muss $\begin{eqnarray} \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ \phi(x+tz) - \phi(x) }{t} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{ \frac{1}{2} \|x+tz\|_p^2 - \frac{1}{2} \|x\|_p^2 }{t} \end{eqnarray*}$ ausrechnen ( für ein z aus R^2).
11.02.2013, 19:03	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualitätsabbildung bzgl. der p-Norm im R^2 Hier wäre es ratsamer, die Fréchet-Ableitung zu bilden – $\begin{eqnarray} (\mathbb R,\lvert\cdot\rvert_p) \end{eqnarray}$ ist ja sogar uniform konvex, zumindest für $\begin{eqnarray} p>1 \end{eqnarray}$ . Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist das dann die ganz normale Ableitung, die aus Ana2 bekannt ist.
11.02.2013, 19:30	remus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualitätsabbildung bzgl. der p-Norm im R^2 Okay, super! Danke Che! Ich bilde also den Gradienten: $\begin{eqnarray} \nabla \frac{1}{2}\|x\|^2_p \end{eqnarray}$
11.02.2013, 19:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dualitätsabbildung bzgl. der p-Norm im R^2 Ja, genau. Oder die Jacobi-Matrix, ist auch egal...

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