Wahrscheinlichkeit Zeitintervalle

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leoleo Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Zeitintervalle
Ob Sie es glauben oder nicht, sind die Geräte für die Zeitmessung im Skisport nicht perfekt. Anstatt die genaue Zeit messen , messen die ein Intervall, in dem die Rennläufer beendete das Rennen (zum Beispiel 53,42sec−53,45sec).

Die Wahrscheinlichkeit wird gleichmäßig auf diesem Intervall verteilt. (Genauer gesagt, wenn wir irgendwelche zwei Teilintervalle gleicher Länge wählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Skirennfahrer das Rennen in jedem dieser Teilintervalle fertiggemacht gleich.

Und was, wenn es n Skirennfahrer gibt? Dann haben wir n Intervalle. Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Skirennfahrer auf der Liste das Rennen gewonnen hat (das heißt, beendete das Rennen mit der minimalen Zeit).

Beispiel:

Fahrer 1 Zeiten 52.3-53-4
Fahrer 2 Zeiten 51-52.7
Fahrer 3 Zeiten 52.5-55
Fahrer 4 Zeiten 54-56 und.....
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zeitmessungen sind eigentlich immer ein Intervall. Es wird ja schlieslich auch gerundet.

Ansonsten habe ich die Frage nicht verstanden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Frage so:

Zitat:
Jeder der Skifahrer hat mit gleicher Wahrscheinlichkeit und unabhängig voneinander eine von möglichen Zeiten in der Ergebnisliste. Die Frage ist jetzt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der erste Fahrer am Ende auch Sieger ist.

Bei stetiger Zeit bzw. ist die Antwort klar: Die Siegwahrscheinlichkeit ist dann .

Im diskreten Fall, d.h. echt endlichem liegen die Dinge anders: Da kann es ja auch den geteilten ersten Platz geben, d.h. mehrere Sieger, die Siegwahrscheinlichkeit dürfte also etwas höher sein als - das dürfte der eigentliche Kern der Aufgabe sein. Augenzwinkern

P.S.: Man betrachte dazu nur mal den Extremfall , dann haben alle Fahrer die gleiche Zeit und sind somit alle Sieger... smile
leoleo Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit
Hallo Hal9000

Sie haben die Fragen nicht verstanden. Es kann sein dass der erste Schi Fahrer wegen Messungenauigkeit die Zeiten z.B 52.34-53.34 hat. Zweite Fahrer kann z.B Zeiten 51-52.5 haben und 3.Fahrer 51-55 haben. Hier sehen wir dass die Zeiten überlappend sind und das ändert die Wahrscheinlichkeit. Weil es kann sein dass erste Fahrer die Zeit 52.35 hat und der zweite 52.4 und das bedeutet noch nicht das der erste Fahrer gewonnen hat. Erst falls der dritte Fahrer die Zeit>52.35 hat, dann hat der erste Fahrer gewonnen.
Das problem ist nicht einfach und die Erreignisse sind schon abhängig voneinander.

Gruss

leoleo
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, jetzt hab ich erst kapiert. Ist aber auch in der Formulierung ziemlich holprig - ich vermute mal, weil Deutsch nicht Ihre Muttersprache ist (soll kein Vorwurf sein).


Eigentlich relativ einfach im Lösungsansatz: Als Zufallsvektor betrachtet sind die Zeiten stetig gleichverteilt auf dem n-dimensionalen Quader mit der Dichte



mit dem -dimensionalen Volumen und Indikatorfunktion . Dann ist



Je nach Parametern kann die konkrete Auswertung dieses Integrals unterschiedlich hässlich werden. Betrachten wir mal deinen Datenfall mit vier Fahrern und







Dann ergibt sich eingesetzt und schonmal etwas vereinfacht



Für die weitere Berechnung und Auflösung dieser Maxima müssen wir das -Intervall noch teilen, und zwar am Punkt 52.5:




Für mehr als vier Fahrer ergeben sich - je nach Intervallwerten - mehr als dieser eine Teilungspunkt und damit eine ganze Reihe von Teilintegralen, aber alle mit Polynomintegranden.
leoleo Auf diesen Beitrag antworten »
Ski Fahrer
Danke für die schnelle Antwort. Können Sie mir erklären (alle Schritte) für einfache Intervalle:

Fahrer 1 3.500 17.300
Fahrer 2 12.700 21.200
Fahrer 3 2.900 15.000
Fahrer 4 1.000 20.000


Danke für die Antwort.


leo
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, ich habe oben ein Beispiel gerechnet. Ich bin keine Rechenmaschine, die jetzt alle Konstellationen für dich ausrechnet. unglücklich

-----------------------------------------

Aber eine etwas "gefälligere" Lösungsdarstellung als oben kann ich noch bieten:

1) Man wirft von vornherein alle Kontrahenden ohne Siegchance aus dem Modell, d.h. diejenigen mit , oben im ersten Beispiel war das etwa Fahrer 4. Wenn Fahrer 1 dazu zählt, ist hier bereits Schluss mit Siegwahrscheinlichkeit 0.

2) Die verbliebenen Rennfahrer, wobei man für den ersten die Siegchance bestimmen soll, werden o.B.d.A. so angeordnet, dass gilt.

3) Sollte gelten, so gewinnt Fahrer 1 mit Wahrscheinlichkeit 1.

4) In allen anderen Fällen sei der kleinste Index mit - gibt es den nicht, so setze man , und es ist dann

leoleo Auf diesen Beitrag antworten »
Ski Fahrer
Danke für die Antwort.
leoleo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ski Fahrer
Nur noch eine Frage:Nach Formel für z.B 2 gleiche Intervalle z.B 1-5 bekomme ich das Resultat 1.
L=4*4=16, Integral hat die Grenzen 1 bis 5 und max Funktion gibt 1.
Das ist nicht richtig weil die Wahrscheinlichkeit ist 0.5 oder????

Danke.

leo
leoleo Auf diesen Beitrag antworten »
Ski Fahrer
Entschuldigung max ist t und nicht 1. Es stimmt alles.

Danke.
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