Komplexe Zahlen

11.02.2013, 22:18

ic

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Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo leute ich habe gerade probleme bei dieser Aufgabe:

Bestimmen sie die Lösung folgender Ungleichung unter zuhilfename der darstellung

$\begin{eqnarray*} r*e^{i*phi} \end{eqnarray*}$

z^2 = 9

Wie gehe ich genau an diese Aufgabe ran?

Meine Ideen:
keine leider

11.02.2013, 22:44

Helferlein

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Erstens ist das keine Ungleichung und zweitens ist die Aufgabe ziemlich sinnlos, da man sie bereits ohne Kenntnis der komplexen Zahlen oder gar Polardarstellung problemlos lösen kann.

11.02.2013, 22:45

ic

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Aber weiss du wie man das nach der Polardarstellung lösen kann?

11.02.2013, 22:49

Helferlein

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Klar weiss ich das: 9 in Polardarstellung darstellen und vergleichen.
Aber willst Du ernsthaft behaupten, dass sei eine Aufgabe aus dem Hochschulbereich?

11.02.2013, 22:53

ic

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Klar die ist aus der Hochschule.

Soll ich den betrag so bestimmen :

ein i ist ja nicht gegeben also:

r = \sqrt{9^2} = 9

arctan ( 0/9 ) = 0

Das wars oder wie?

11.02.2013, 22:55

Helferlein

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Naja fast. Du hast nun die Polardarstellung, aber noch nicht die Wurzeln.

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11.02.2013, 22:57

ic

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Was meinst du genau ?

Achso ich hatte mich bei der Aufgabe verschrieben .

Es heißt z^2 = -9

Ist mein radius richtig?

In meiner Musterlösung soll für r= 3 rauskommen.

Aber warum das verstehe ich nicht.

11.02.2013, 23:07

Helferlein

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Wie ist denn nun die Polardarstellung von -9, Du hast doch gerade etwas ausgerechnet.

Falls Du daran zweifelst, dann überleg Dir, welchen Winkel die Zahl -9+0i mit der positiven x-Achse bildet und wie weit die Zahl von dem Nullpunkt entfernt ist.

11.02.2013, 23:48

ic

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Wie rechne ich denn die polardarstellung aus?

11.02.2013, 23:50

Helferlein

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Was meinst Du, was Du hier gerechnet hast?

Zitat:

Original von ic

r = \sqrt{9^2} = 9

arctan ( 0/9 ) = 0

Die Polardarstellung der Zahl 9 (Achtung: nicht -9, die sieht noch leicht anders aus).
Nun nimmst Du die Polardarstellung der gesuchten Zahl z (steht in der Aufgabe) und setzt sie mit der eben ermittelten gleich.

12.02.2013, 01:42

ic

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Oh man das verstehe ich nicht .

Kannst du mir das ein wenig genauer erklären?

12.02.2013, 07:12

Monoid

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Hi!

Wink

Die Polardarstellung findet man auch durch googlen sehr schnell, aber sei's drum...

Der Radius r ist definiert, als "Länge" der komplexen Zahl, also wenn man sie in ein gaußches Koordinatensystem einzeichnet, die Länge des Pfeils.

Dafür gibts natürlich auch eine Formel, die sich leicht mit Pythagoras herleiten lässt:
$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{ \Re (z)^2 + \Im ( z)^2} \end{eqnarray*}$ , wobei z die komplexe Zahl ist, deren Länge r ist.

In $\begin{eqnarray*} \exp ( i \varphi) \end{eqnarray*}$ fehlt dir also nur noch $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Den Winkel kriegst du durch die folgenden Gleichungen und einer Wertetabelle raus:
$\begin{eqnarray*} \tan ( \varphi )=\frac{y}{x} ; - \pi < \varphi \leq \pi \end{eqnarray*}$

Also Versuch mal... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber hättet ihr das nicht alle in einer evtl. etwas anderen Form in den Vorlesungen? verwirrt

verwirrt

12.02.2013, 07:56

Iorek

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Zitat:

Original von Monoid
Dafür gibts natürlich auch eine Formel, die sich leicht mit Pythagoras herleiten lässt:
$\begin{eqnarray*} r = \sqrt{ \Re (z)^2 - \Im ( z)^2} \end{eqnarray*}$ , wobei z die komplexe Zahl ist, deren Länge r ist.

Diese Formel wirst du mit Pythagoras aber nicht herleiten können. Vielmehr ist für eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z=a+b\cdot i \end{eqnarray*}$ der Betrag bzw. die "Länge" gegeben durch $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ .

Auch den Winkel muss man nicht umständlich über Wertetabellen und Gleichungen mit Tangens berechnen, den "sieht man" in der Gaußschen Zahlenebene.

12.02.2013, 12:08

ic

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r ist doch 9 oder ?

So hatte ich es ja ausgerechnet.
Der imaginärteil ist ja 0 oder?

12.02.2013, 12:10

Monoid

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Ja, r=9.

Freude

12.02.2013, 12:17

Helferlein

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Kommt ganz darauf an, was Du mit r meinst. Wenn es der Radius der gesuchten Zahl ist, dann nicht. Ist es der Radius von -9, dann ja.

12.02.2013, 12:25

ic

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Aber was mache ich als nächstes um den winkel zu berechnen ?

arctan ( -9/0 ) = 0 ?

das verstehe ich nicht.

12.02.2013, 12:31

Helferlein

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Da die bisherigen Hinweise nicht zu fruchten scheinen, lies Dir mal einen Beitrag der Fernuni Hagen zu dem Thema durch.

12.02.2013, 12:36

ic

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Das verstehe ich ja auch soweit.

Aber da der Imaginärteil nicht gegeben ist, verstehe ich nicht wie ich das ausrechnen soll.

12.02.2013, 12:40

ic

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Oder mache ich das so?

12.02.2013, 14:34

Steffen Bühler

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Vielleicht hilft es, wenn Du Dir die komplexe Ebene mal vorstellst. Zuerst die reelle Achse, die ja nach rechts und links zeigt. Nach rechts (also für die positiven reellen Zahlen) ist der Winkel 0°. Nach links dann natürlich 180°.

Nun zur imaginären Achse, die für die positiven imaginären Zahlen nach oben zeigt (das sind also 90°), und für die negativen imaginären Zahlen nach unten (das sind 270°).

So, jetzt verrate uns mal den Winkel von -9.

Viele Grüße
Steffen

12.02.2013, 15:04

ic

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Dann müsste der Winkel 270 grad sein ?

12.02.2013, 15:08

Steffen Bühler

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Ist die Zahl -9 reell oder imaginär?

12.02.2013, 15:11

ic

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Die ist reel. Äh dann muss es 180 grad sei. Oder?

Wie gehe ich weiter vor falls das richtig ist?

12.02.2013, 15:16

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ic
dann muss es 180 grad sei.

Ganz richtig!

Zitat:

Original von ic
Wie gehe ich weiter vor falls das richtig ist?

Du willst ja die Quadratwurzel aus -9 ziehen. Das Vorgehen ist dabei immer so:

- vom Radius wird die Wurzel gezogen
- vom Winkel wird die Hälfte genommen
- das ist dann die erste Lösung, für die zweite Lösung wird der Winkel um 180° weitergedreht.

Viele Grüße
Steffen

12.02.2013, 15:21

ic

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Ok dann wäre r=3

Aber wie ich die zweite Lösung berechne , verstehe ich nicht genau.

Wenn der Winkel weiter gedreht wird , wird es 360 grad oder?

12.02.2013, 15:24

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ic
Ok dann wäre r=3

Richtig!

Zitat:

Original von ic
Wenn der Winkel weiter gedreht wird , wird es 360 grad oder?

Du mußt den Winkel erst halbieren, bevor Du ihn weiterdrehst.

12.02.2013, 15:28

ic

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Halbiert wäre 90 grad und weiter gedreht dann wieder 180 grad?

12.02.2013, 15:36

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ic
Halbiert wäre 90 grad

Richtig! Das ist also die erste Lösung. Eine komplexe Zahl mit Radius 3 und Winkel 90°.

Zitat:

Original von ic
und weiter gedreht dann wieder 180 grad?

Nein, der halbierte Winkel wird um 180° weitergedreht.

12.02.2013, 15:41

Ic

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Das wären dann 270 grad oder?

12.02.2013, 15:46

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Ic
Das wären dann 270 grad oder?

Perfekt! Das ist die zweite Lösung.

Und wenn Du das noch mal durchliest, was ich um 14:34 geschrieben habe, kannst Du die beiden Lösungen noch hübsch vereinfachen.

12.02.2013, 16:08

ic

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Ich weiss nicht so genau was ich machen soll steffen.

EIn wenig musst du mir noch bitte helfen.

12.02.2013, 16:19

Steffen Bühler

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Diese Vereinfachung, die ich meine, ist nicht gefordert, dann lassen wir sie auch, bevor ich Dich verwirre.

Du bist fertig! Die zwei Lösungen der Gleichung z²=-9 sind die beiden komplexen Zahlen mit jeweils dem Radius $\begin{eqnarray*} r=3 \end{eqnarray*}$ und dem Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi=90° \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi=270° \end{eqnarray*}$ .

Nun schreib diese zwei Zahlen noch in der verlangten Form $\begin{eqnarray*} r \cdot e^{i \cdot \varphi} \end{eqnarray*}$

Und falls Dein Mathelehrer statt Gradmaß lieber Bogenmaß möchte, forme die Winkel über $\begin{eqnarray*} 180°=\pi \end{eqnarray*}$ einfach um.

Viele Grüße
Steffen

12.02.2013, 16:33

ic

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Hallo steffen als übung können wir ja noch die zweite Aufgabe machen:

z^3 = 8i

Mein r = Wurzel aus 8^2 + 1^2 = wurzel aus 65 =8,06

Un jetzt nochmal die Wurzaus 8,06

r= 2,84

Soweit richtig?

12.02.2013, 16:37

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ic
z^3 = 8i

Mein r = Wurzel aus 8^2 + 1^2

Das ist leider falsch. Wo kommt denn die 1 her?

Zitat:

Original von ic
Un jetzt nochmal die Wurzaus 8,06

Ja, aber wenn, dann die dritte Wurzel!

12.02.2013, 16:40

ic

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Oh ich hab mein Fehler :

r = 8

und jetzt nochmal die dritte wurzel:

r= 2

Aber jetzt bei diesen winkeln musst du mir noch ein wenig helfen.

Das ist noch niht 100% im kopf.

12.02.2013, 16:42

Steffen Bühler

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Kein Problem. Nochmal zum Mitmeißeln:

positive reelle Zahl: 0°
positive imaginäre Zahl: 90°
negative reelle Zahl: 180°
negative imaginäre Zahl: 270°

Na, was für einen Winkel hat nun 8i?

12.02.2013, 16:49

ic

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Sie hat einen winkel von 90 grad.

Mein ergebnis würde so aussehen oder:

r= 2*e^{i*90grad } ?

12.02.2013, 16:55

Steffen Bühler

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Nicht so schnell.

Vorhin haben wir den Winkel halbiert, weil die zweite Wurzel gezogen wurde.

Nun wollen wir die dritte Wurzel, also...?

12.02.2013, 16:58

ic

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Ah ok.

Müssen wir dann 90 grad / 3 teilen .

Dann wären das 30 grad oder?

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