Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix

12.02.2013, 02:46

Säckel

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Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix

Hallo nochmal,
habe leider noch ein Problem dabei den Definitionsbereich und Wertebereich einer Matrix zu bestimmen.

ich kenne nur die Natation, wie es in der Klausur verlangt ist.
Die Unbekannten Werte habe ich durch Fragezeichen ersetzt. Vielleicht kann mir jemand beim Ausfüllen helfen. Ich habe leider sonst im Internet nichts darüber gefunden was ich verstehe.

$\begin{eqnarray*} A_{m,n}= A_{?,?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \tilde{A}:\mathbb R ^{?} \rightarrow R^{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow W_{\tilde{A}}= \mathbb R^{?} ; D_{\tilde{A}}= \mathbb R^{?} \end{eqnarray*}$

Angenommen ich habe die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann ich dann für die erste Matrix sagen:

$\begin{eqnarray*} A_{m,n}= A_{3,3} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ oder muss ich sagen:
$\begin{eqnarray*} A_{m,n}= A_{2,3} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ , weil eine Nullzeile dabei ist?

Und vor allem: Was setze ich dann für Definitionsbereich und Wertebereich ein?

Wie ich den Rang berechne ist mir sogar klar geworden nun...
Nämlich: Durch Umformung so viele Nullzeilen herstelllen wie möglich und
die Anzahl der Zeilen die keine Nullzeilen sind ergeben den Rang rgA der Matrix:

Somit ist z.B der Rang der ersten beispielmatrix gleich 2 und beim zweiten Beispiel ist der Rang rgA=1 (Hoffe das hab ich soweit kapiert!)

Fehlt eben nur noch Definitions und Wertebereich..

Nehme ich da auch Zeilen und Spalten zu hilfe?

Danke an alle die mir Helfen möchten! Freude

Freude

12.02.2013, 13:46

glac

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RE: Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix
Hallo,

So wie ich das verstanden habe (und bitte berichtigt mich, falls das falsch ist), ist das so gemeint:

Sei

$\begin{eqnarray*} f=\tilde{A}: D_A \to W_A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \to A\cdot x \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du dir klarmachen, für welche $\begin{eqnarray*} x\in D_A=\mathbb R^? \end{eqnarray*}$ die Abblindung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überhaut definiert ist, sprich für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Abb. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt existiert.

Wenn du $\begin{eqnarray*} D_A \end{eqnarray*}$ gefunden hast, dann kannst du dir klarmachen, wie $\begin{eqnarray*} W_A \end{eqnarray*}$ aussehen muss.

Gruß

12.02.2013, 17:20

Säckel

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RE: Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix
Hallo, danke für deine Antwort!

Und wie finde ich das Heraus?

Soll ich nur die Zeilen und die Spalten ablesen?

12.02.2013, 17:26

glac

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RE: Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix
Naja, überleg dir mal wie denn ein Vektor aussehen muss, damit du A*x rechnen kannst.

Welche Dimension hat dieser Vektor?

Damit befinden wir uns also im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^? \end{eqnarray*}$ .

Gruß

12.02.2013, 18:34

Säckel

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RE: Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix
Naja ich denke bei einer Nullspalte geht es nicht..
im ersten Beispiel gibt es aber nur eine Nullzeile!

ist bei meinem ersten Beispiel der Definitionsbesreich gleich
$\begin{eqnarray*} D_{\tilde{A}}= \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ?

13.02.2013, 07:53

glac

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RE: Definitions-/Wertebreich, Rang einer Matrix

Zitat:

Naja ich denke bei einer Nullspalte geht es nicht.. im ersten Beispiel gibt es aber nur eine Nullzeile!

Warum sollte das nicht gehen? Seit wann ist die Multiplikation mit der Null verboten?

Zitat:

ist bei meinem ersten Beispiel der Definitionsbesreich gleich $\begin{eqnarray*} D_{\tilde{A}}= \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ?

Freude

Genau.

Gruß

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13.02.2013, 19:39

Säckel

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Big Laugh

dann ist in meinem 2. Beispiel der Definitionsbereich ja auch 3 oder?
ist es für den Wertebereich auch einfach nur ablesen?

14.02.2013, 11:17

glac

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Ja der Def-Bereich der 2. Matrix ist auch $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Für den Wertebereich hast du schon richtig den Rang der Matrizen bestimmt.

Jetzt überlege dir, wie der Rang mit der Dimension, in der du landest wenn du die Matrix auf ein $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ anwendest, zusammenhängt.

D.h. setzt mal ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \tilde{A} \end{eqnarray*}$ ein und überprüfe, in welcher Dimension du landest.

Die zweite Matrix musst du erst noch in Zeilen-Stufenform bringen.

Gruß

14.02.2013, 13:43

Säckel

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Erstmal nochmal danke für die Antwort..

Verstehe, wenn ich die 2. Matrix kürze bzw. umforme, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann ich das als Zeilenstufenform bezeichnen? So richtige Stufen bekomme ich nämlich nicht hin..

dh. der Rang ist die Anzahl der Reihen die keine Nullreihen sind
und der Wertebereich ist ist die "gekürzte" Matrix, bei der ich
die Zeile und Reihe der Einheitsvektoren Streichen muss und anschließend die Zeilen (Oder Spalten?) der übrig gebliebenen Matrix zähle?

sprich: habe ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so kann ich die erste Reihe und erste Spalte sowie die zweite Reihe und die Zweite Spate streichen und erhate nur noch einen Definitionsbereich von 1?

Danke für die Hilfe

14.02.2013, 13:56

glac

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Zitat:

Verstehe, wenn ich die 2. Matrix kürze bzw. umforme, erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Genau, dein Wertebereich ist also $\begin{eqnarray*} \mathbb R^1=\mathbb R \end{eqnarray*}$ (nicht "1").

Das bedeutet, wenn du die Abb $\begin{eqnarray*} \tilde{A} \end{eqnarray*}$ auf einen Vektor $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ anwendest, landest du immer im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so kann ich die erste Reihe und erste Spalte sowie die zweite Reihe und die Zweite Spate streichen und erhate nur noch einen Definitionsbereich von 1?

Ich verstehe leider nicht, was du meinst. Was ist die "erste Reihe", bzw. "zweite Reihe"? Ich vermute, du meinst die 1. bzw. 2. Spalte, aber warum solltest du die "streichen" dürfen?

Die Matrix ist doch schon in Zeilen-Stufenform, daher ist der Rang und somit der Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

14.02.2013, 13:59

Iorek

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Zitat:

Original von glac

Genau, dein Wertebereich ist also $\begin{eqnarray*} \mathbb R^1=\mathbb R \end{eqnarray*}$ (nicht "1").

Das bedeutet, wenn du die Abb $\begin{eqnarray*} \tilde{A} \end{eqnarray*}$ auf einen Vektor $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ anwendest, landest du immer im $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist nicht der Fall. Der Wertebereich ist weder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , noch schickt die Abbildung einen Vektor auf eine reelle Zahl!

14.02.2013, 14:10

Säckel

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Okay also nochmal übersichtlich:
(bin jetzt nämlich etwas verwirrt)

Der Rang ist:

Die Anzahl der horizontalen Reihen in der Matrix welche mindestens einen wert enthalten der nicht 0 ist, nachdem die Matrix umgeformt bzw gekürzt wurde

Der Definitionsbereich:

Anzahl der vertikalen spalten die mindestens eine Zahl enthalten die nicht Null ist

Wertebereich:

Bezieht sich auf den Rang der Matrix und der Wert ist immer der selbe? (also Rang R^3 bedeutet W^3?)

14.02.2013, 16:33

Iorek

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Der Definitionsbereich ist nicht von irgendwelchen Nullzeilen oder -spalten abhängig, wieso sollte das denn so sein?

Wenn $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{m\times n} \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ . Irgendwelche potentiellen Nullzeilen spielen überhaupt keine Rolle.

14.02.2013, 17:15

Säckel

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für den Definitionsbereich soll ich also nur die Zeilen m der Matrix zählen, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe.
und der Wertebereich ist gleich der Rang einer Matrix?

Danke dir

14.02.2013, 17:18

Iorek

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Nein, der Rang ist eine Zahl, der Wertebereich ist aber nicht einfach nur eine Zahl. Wie ist denn der Wertebereich definiert?

14.02.2013, 19:39

Säckel

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im ersten Fall meines ersten Beitrages:

W_A= R^3

im zweiten Fall

W_A= R^1

wenn das fasch ist, habe ich vielleicht einfach keine Ahnung und mir muss es jemand nochmal beibringen..

14.02.2013, 20:17

Iorek

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Wenn du eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ hast, wie soll dann da als Wertebereich auf einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R^1 \end{eqnarray*}$ rauskommen? geschockt

geschockt

Schlage bitte die Definitionen von den entsprechenden Begriffen nach; Abbildung, Definitionsbereich, Zielbereich, Wertebereich. Das sind grundlegende Begriffe, die immer wieder gebraucht werden.

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