Eigenwerte/Determinanten

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte/Determinanten
Also ich will folgendes zeigen

det(A) = 0 <=> 0 = Eigenwert von A

"<="



Darf ich jetzt davon ausgehen das x nicht null ist? Den nach Definition ist x nur Eigenvektor wenn er nicht null ist. Dann würde man sagen Ax=0 besitzt nicht triviale Lösung wenn det(A) = 0 und ist fertig.

"=>"

Die Hinrichtung bereitet mir schon Paar mehr Probleme. Mir fehlt so die Idee was ich über das characteristische Polynom sagen kann wenn die Determinante 0 ist.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

edit

Ich habs so probiert:

Det(A) = 0 => Ax = 0 besitzt nicht triviale Lösung, wenn die Lösung Eigenvektor ist muss gelten:



Da x nichttrivial folgt lambda = 0? Geht des so?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte/Determinanten
Zitat:
Original von Mazze
Dann würde man sagen Ax=0 besitzt nicht triviale Lösung wenn det(A) = 0 und ist fertig.


Irgendwie fehlt mir hier noch ein Argument. Warum ist das so?

Zitat:
Original von Mazze
Mir fehlt so die Idee was ich über das characteristische Polynom sagen kann wenn die Determinante 0 ist.


Wenn ich mich recht entsinne, ist die Determinante das Absolutglied des charakteristischen Polynoms. Das sollte dir helfen.

Gruß vom Ben
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Irgendwie fehlt mir hier noch ein Argument. Warum ist das so?


Ist die Determinante != 0 folgt



=> x = 0

Also es existiert nur die triviale Lösung genau dannwenn A regulär ist. Die Umkehrung der Aussage heißt, es existiert nicht nur die triviale Lösung genau dann wenn A nicht regulär ist ( so hoff ich jedenfalls, Aussagenlogik und Prädikatenlogik gibs erst nächstes Semester ^^)

Also absolutglied sagt mir mal wieder nichts : (
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Absolutglied eines Polynoms ist einfach der Summand, bei dem keine Variable mehr auftaucht, für ist also das Absolutglied.

Zitat:
Original von Mazze
Also es existiert nur die triviale Lösung genau dannwenn A regulär ist.


Dass A regulär ist (also ) ist hier Voraussetzung, steht also nicht in der "genau, dann wenn"-Aussage drin. Das was ich oben zitiert habe ist also nicht dasselbe wie das hier:

Zitat:
Original von Mazze

Ist die Determinante != 0 folgt



=> x = 0
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das Absolutglied wäre also 0. Daraus folgt das 0 Nullstelle des Polynoms ist und damit eigenwert zu A. Ginge meine andere Methode (edit teil post 1) auch?

Hm, aus det(A) != 0 => nur triviale lösung. Die Umkehrung wäre dann

det(A) = 0 => nicht nur triviale Lösung?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Umkehrung zu ist .
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

also

es existiert nicht nur die triviale Lösung => det(A) ist nicht nicht 0

Okok, das könn wir so nicht gebrauchen

Es gilt aber auch:

Es existiert nur die triviale Lösung => det(A) != 0 (für Ax = 0)
Drehen wir das um können wir es für den Beweis benutzen.
Ach ja, die genaudann wenn Beziehung der Aussage hatten wir schon viel früher bewiesen weswegen ich das immer ohne Beweis benutze!
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,

am elegantesten geht es wohl mit dieser Methode vom Ben:

Zitat:
Wenn ich mich recht entsinne, ist die Determinante das Absolutglied des charakteristischen Polynoms


Aber deine Methode funktioniert auch:

"=>"
det(A)=0 => A ist nicht invertierbar => A ist insbes. nicht injektiv => Kern(A)!=0 ... so wie du das gedacht hattest.

"<="
Statt "B => A" kannst du ja auch "nA =>nB" beweisen.
Sei also det(A)!=0 ...
Mit dem gleichen Vorgehen wie oben kannst du folgern, dass 0 kein EW sein kann.

War das verständlich?

Gruß
Anirahtak
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
War das verständlich?

Joah, war es.


Ich glaube aber die Aussage über das Absolutglied darf ich nicht benutzen, weil wir das nicht bewiesen haben : (
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Joah, war es.


Freut mich!

Wenn du ne nxn-Matrix über einem kommutativen Ring hast, dann ist das charakteristische Polynom ja:



Für die Koeffizienten gilt dann:







Beweisen kann man das über die Leibniz-Formel für Determinanten, aber v. a. beim zweiten ist das ziemlich unangenehm.

Gruß
Anirahtak
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub das werd ich nach den klausuren mal in angriff nehmen, um fit zu bleiben. Die Sache ist das ich nicht mal weiß wasn Kommutativer Ring ist. Aber naja, ich wollt ja einen Teil meiner Ferien für tiefer gehende Dinge (auch Mathe) opfern . smile
Anirahtak Auf diesen Beitrag antworten »

Substituiere in meinem Beitrag einfach "kommutativer Ring" gegen "Körper" oder "reelle Zahlen" - je nach dem was ihr immer verwendet - und das ganze stimmt immernoch!
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