Differentialrechnung Anwendung Marmeladenglas

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12.02.2013, 15:55	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialrechnung Anwendung Marmeladenglas Hallo, und schon wieder stehe ich vor einem Problem: Ein Marmeladenglas hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Das Fassungsvermögen des zylinderförmigen Teils beträgt 0,55 l. Zur besseren Haltbarkeit der Marmelade soll die gesamte Innenfläche des Marmeladenglases - also einschließlich der Innenfläche des Deckels - mit einem Kunstoff beschichtet werden. berechnen sie den Radius der Grundfläche des Zylinders so, dass möglichst wenig Innenfläche mit Kunstoff beschichtet werden muss. Meine Überlegungen: I = Innenbeschichtung $\begin{eqnarray} HB: I = 2 \pi * r * h + \pi * r^{2} + 2 * \pi * r^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} NB: 0,55l = \pi * r^{2} * h \end{eqnarray}$ weitere Bedingungen finde ich nicht... $\begin{eqnarray} ZF: I = 2* \pi * r * \frac{0,55}{\pi * r^{2} } + \pi * r^{2} + 2 * \pi * r^{2} \end{eqnarray*}$ Nur jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen sollte oder ob das überhaupt soweit richtig ist, weil ich ja nur 2 Bedingungen habe.
12.02.2013, 16:58	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, soweit ich das sehe, hast du alles richtig gemacht. Jetzt würde ich erstmal die 0,55 Liter in $\begin{eqnarray} cm^3 \end{eqnarray}$ umwandeln. Danach solltest du erstmal soweit wie möglich zusammenfassen. Insbesondere die letzten beiden Summanden. Beim ersten Summand kannst du noch ordentlich kürzen. Was wäre dann dein nächster Schritt?
12.02.2013, 17:14	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
hey... das habe ich auch schon gemacht und das sieht dann wie folgt aus: $\begin{eqnarray} ZF: I =\frac{1100}{\pi r} + 9,425r^{2} \end{eqnarray*}$
12.02.2013, 17:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ im ersten Summanden kürzt sich vollständig raus. Des Weiteren würde ich beim 2. Summanden $\begin{eqnarray} 3\pi \end{eqnarray}$ beibehalten. Wie schon gefragt: Wie wäre dein nächster Schritt? Was macht man in der Regel, wenn man einen Extrempunkt einer Funktion berechnen will?
12.02.2013, 17:31	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 1.Ableitung d.h. für mich wird aus $\begin{eqnarray} ZF: I =\frac{1100}{ r} + 3 \pi r^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= 1100 + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1100= 6 \pi r \| 6\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -575,96= r \| 6\pi \end{eqnarray*}$ --> nur negativer Wert ist ja umöglich!
12.02.2013, 17:37	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung des zweiten Summanden ist richtig. Die Ableitung des ersten Summanden wäre richtig, wenn der erste Summand $\begin{eqnarray} 1100 \cdot r \end{eqnarray}$ wäre. Er ist aber $\begin{eqnarray} \frac{1000}{r}=1000 \cdot r^{-1} \end{eqnarray}$ Vielleicht fällt es dir leichter mit der zweiten Darstellung, den ersten Summanden, nach r abzuleiten.
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12.02.2013, 17:41	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ZF: I =\frac{1100}{ r} + 3 \pi r^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 * r^{-1} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 * (- 1) + 6 \pi r \end{eqnarray}$ ist das so richtig?? $\begin{eqnarray} 0= -1100 + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +1100= 6 \pi r \| 6\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +575,96= r \end{eqnarray*}$
12.02.2013, 18:18	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nicht. Die Ableitung ist leider nicht richtig. Du musst bei der Ableitung den Exponenten (-1) als Fakor davorsetzen und vom Exponenten 1 abziehen. Allgemein gilt: $\begin{eqnarray} f(x)=x^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=n \cdot x^{n-1} \end{eqnarray}$ n ist bei die -1 und die Variable x ist bei dir r.
12.02.2013, 18:40	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ZF: I =\frac{1100}{ r} + 3 \pi r^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I= 1100 * r^{-1} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 * - 1r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 * -1r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= -1100 * r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray*}$ und das jetzt mit r² multiplizieren?
12.02.2013, 18:46	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt. Ja, die Gleichung mit $\begin{eqnarray} r^2 \end{eqnarray}$ multiplizieren. Da ein Summand negativ ist, kann man ihn leicht auf die andere Seite der Gleichung bringen. Es steht ja eingentlich $\begin{eqnarray} 0= -1100 r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray*}$ da. Die erste Ableitung gleich 0.
12.02.2013, 18:51	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ZF: I =\frac{1100}{ r} + 3 \pi r^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I= 1100 * r^{-1} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 * - 1r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I'= 1100 * -1r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= -1100 * r^{-2} + 6 \pi r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0= -1100 + 6 \pi r^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 575,96 = r^{3} \| \sqrt{x}^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8,32 = r \end{eqnarray*}$ Soo alles richtig? Vielen Dank für die Hilfe!!
12.02.2013, 19:02	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} 1100 : (6 \pi) \end{eqnarray}$ habe ich ein anderes Ergebnis, nämlich $\begin{eqnarray} 58,3568 \ldots \end{eqnarray}$ Bis dahin war aber alles richtig. Daraus die dritte Wurzel ziehen. Dann kannst du auch gleich noch h bestimmen.
12.02.2013, 19:11	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einem anderen Taschenrechner komme ich auch auf das gleiche Ergebnis. $\begin{eqnarray} 58,36 = r^{3} \| \sqrt{x}^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = 3,88 \end{eqnarray}$ h = 0,012 hatte die Klammern vergessen <-- $\begin{eqnarray} 1100 : (6 \pi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I''(3,88)= 1100 2r^{-3} + 6 \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I''(3,88)= 1100 * 2* 3,88^{-3} + 6 \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I''(3,88)= 37,66 + 18,85 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I''(3,88)= 56,51 \end{eqnarray*}$ > 0 => rel. Min Vielen Dank nochmal
12.02.2013, 19:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor du verschwindest. Bei der Berechnung von h, hast du wahrscheinlich vergessen die 0,55l in 550 $\begin{eqnarray} cm^3 \end{eqnarray}$ umzuwandeln. Das solltest du nochmal korrigieren. Ich habe deine zweite Ableitung mit dem entsprechenden Wert von r noch nicht durchgerechnet. Die Ableitung stimmt aber. Und da für ein positives r der erste Summand immer positiv ist und der zweite Summand sowieso positiv ist, ist die zweite Ableitung insgesamt immer postitiv, wenn r positiv ist.
12.02.2013, 19:38	Evoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt h = 11,63 nochmals Danke
12.02.2013, 19:41	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat. Grüße.

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