Frage zum Zwischenwertsatz

12.02.2013, 19:41	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Zwischenwertsatz Hallo, ich bereite mich gerade auf meine Mathe-Klausur am Donnerstag vor undweiß nicht genau in wie weit ich bei folgender Aufgabe den Zwischenwertsatz verwenden darf: $\begin{eqnarray} f(x)= 1- \frac{2}{e^{2x}+1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R} \rightarrow ]-1,1[ \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass f eine bijektive streng monoton wachsende Abbildung von R auf [-1,1[ ist. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion explizit. Zunächst einmal habe ich die Monotonie bewiesen, sowie $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-1 \end{eqnarray}$ berechnet. -Aus der Monotonie folgt unmittelbar Injektivität -Aus Monotonie und den Grenzwerten folgt nach dem Zwischenwertsatz (Stetigkeit vorrausgesetzt: $\begin{eqnarray} e^{2x}+1 \neq 0 \end{eqnarray}$ ) Surjektivität Also ist f Bijektiv! Nun bin ich mir nicht sicher ob ich den Zwischenwertsatz hier verwenden darf, da er ja nur für kompakte Intervalle definiert ist. Man könnte ja aber das Intervall $\begin{eqnarray} [-a,a] \end{eqnarray}$ ansetzen und a dann gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lassen. Ich würde mich freuen wenn jemand mal kurz über meine Argumentation schauen, und mir ein kurzes Feedback geben könnte! MfG. Max
13.02.2013, 16:10	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zum Zwischenwertsatz die aussage der surjektivität ist ja: für alle werte GIBT ES ein element im urbild. in der tat gibt es das, denn: für jeden wert gibt es ja ein (abg.) intervall, sodass man dort den zws anwenden kann, sodass f dort den entspr. wert annimmt. also - ja, das geht. übrigends sollst du doch sowieso die umkehrfunktion angeben, das reicht dann schon aus für die surjektivität (und alles andere). lg

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