Logarithmus - e-Funktion - Umkehrfunktion

12.02.2013, 20:25

michaelKonrad

Logarithmus - e-Funktion - Umkehrfunktion

Guten Abend.

Ich verstehe noch immer den Logarithmus nicht so Recht.
Vor allem nicht den Zusammenhang zur e-Funktion.

Die Umkehrung von e-Funktionen sind Logarithmus-Funktionen?

Was bedeutet "die Umkehrung" eigentlich?

Von $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}^x \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

$\begin{eqnarray*} a^x =b <=> x = log_a b \end{eqnarray*}$

Muss man diese Formel auswendig lernen, oder gibt es dafür auch eine Erklärung?
Ich kann mir die irgendwie nicht merken, ich würde es lieber verstehen..

$\begin{eqnarray*} log_b b^x = x \end{eqnarray*}$
Hier denkt man sich, b hoch was ist b hoch x. Natürlich x.

Aber das hier verstehe ich nicht.
$\begin{eqnarray*} b^{log_b x} = x \end{eqnarray*}$
Wie geht man hier vor? b hoch b hoch was ist x...???

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Dieses Thema interessiert mich, aber ich kann es alleine einfach nicht begreifen unglücklich

12.02.2013, 20:33

Tesserakt

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Die Umkehrung von $\begin{eqnarray*} p(x) = 2^x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p^{-1}(x) = \log_2(x) \end{eqnarray*}$ .

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon\ X \to Y,\; x \mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ ist genau dann umkehrbar, wenn sie injektiv ist, d.h., wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ genau ein (oder kein) $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ existiert.
Insbesondere gilt dann $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in X \end{eqnarray*}$ .

Exponentialfunktionen erfüllen diese Bedingung und daher existieren zu ihnen Umkehrfunktionen - diese sind die Logarithmusfunktionen.

12.02.2013, 20:38

michaelKonrad

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Vielen Dank, Tesserakt.

Jetzt bin ich schon einen Schritt weiter. smile

Bleiben noch zwei alte Fragen:

1.
$\begin{eqnarray*} a^x =b <=> x = log_a b \end{eqnarray*}$

Muss man diese Formel auswendig lernen, oder gibt es dafür auch eine Erklärung/Herleitung?
Ich kann mir die irgendwie nicht merken, ich würde es lieber verstehen..

2.
$\begin{eqnarray*} b^{log_b x} = x \end{eqnarray*}$
Wie geht man hier vor? b hoch b hoch was ist x...???

12.02.2013, 20:47

Tesserakt

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Die erste Äquivalenz kann man nur dann verstehen, wenn man sich darüber im Klaren ist, was der Logarithmus ist.

$\begin{eqnarray*} \log_a(b) \end{eqnarray*}$ ist definiert als die Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^x = b \end{eqnarray*}$ löst.

Ist das soweit klar?

12.02.2013, 20:59

michaelKonrad

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Ja, das ist soweit jetzt klar.

12.02.2013, 21:01

Tesserakt

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Das heißt also: Gilt $\begin{eqnarray*} a^x = b \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} x = \log_a(b) \end{eqnarray*}$ sein, womit wir die erste Äquivalenz erklärt haben.

Die zweite Identität ergibt sich dann unmittelbar aus dem, wie der Logarithmus definiert ist. Augenzwinkern

12.02.2013, 21:09

michaelKonrad

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Den ersten Satz habe ich verstanden, aber den zweiten nicht.

Bezieht sich der zweite Satz auf meine zweite Frage?
Wenn ja, dann weiß ich noch immer nicht, wie man meine zweite Frage begründet unglücklich

12.02.2013, 21:15

Tesserakt

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$\begin{eqnarray*} \log_b(x) \end{eqnarray*}$ ist definiert als die Zahl $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , die die Gleichung
$\begin{eqnarray*} b^t = x \end{eqnarray*}$ erfüllt.

$\begin{eqnarray*} b^t = x \end{eqnarray*}$

Jetzt setze mal $\begin{eqnarray*} t = \log_b(x) \end{eqnarray*}$ in die Gleichung ein.

12.02.2013, 21:40

michaelKonrad

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Okay, so verstehe ich das.

Aber was wäre, wenn da nur $\begin{eqnarray*} b^{log_b x} \end{eqnarray*}$ stehen würde. Könnten wir dann sofort sagen, dass der ganze Terme = x ist?

Das wir $\begin{eqnarray*} log_b(x) = t \end{eqnarray*}$ setzen können, da gehe ich mit, aber das dann automatisch $\begin{eqnarray*} b^t = x \end{eqnarray*}$ ist da gehe ich nicht mit...

12.02.2013, 21:41

Tesserakt

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Zitat:

Original von michaelKonrad
Okay, so verstehe ich das.

Aber was wäre, wenn da nur $\begin{eqnarray*} b^{log_b x} \end{eqnarray*}$ stehen würde. Könnten wir dann sofort sagen, dass der ganze Terme = x ist?

Ja, das können wir! Und das folgt direkt aus der Definition der Logarithmus.

Die Definition des Logarithmus verlangt, dass $\begin{eqnarray*} b^{\log_b(x)} = x \end{eqnarray*}$ ist.

12.02.2013, 22:26

michaelKonrad

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Okay, jetzt verstehe ich es.
Aber nur ganz langsam und auch nur wenn ich mir das so in Einzelschritte einteile.
Siehst du das sofort, dass es = x ist?
Oder musst du auch erstmal über den Weg $\begin{eqnarray*} b^t = x \end{eqnarray*}$ ?

Ich überlege die ganze Zeit, aber komme nicht drauf, wenn ich $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ durch die e-Funktion und Logarithmus ausdrücken will, wie geht das?
Oder geht das überhaupt? Also irgendetwas mit $\begin{eqnarray*} e^ln... \end{eqnarray*}$
Ich weiß nicht mehr wo genau es war, aber an einigen Stellen ist es doch ganz hilfreich, wenn man das irgendwie so austauscht.. Weißt du vielleicht was ich meine?

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