Lage von Gerade zu Ebene

12.02.2013, 20:27

Jan1234

Lage von Gerade zu Ebene

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:
In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Ebene E gegeben durch die Punkte A(0|0|-1), B(1|0|1), C(0|1|0) und die Gerade g durch g: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4,5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ +k $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ t \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit a $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,k $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameterform an.
b) Für welche Werte von t haben E und g genau einen Schnittpunkt?
c) Bestimmen sie a und t so, dass $\begin{eqnarray*} g\cap E = g. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a) Ist ja relativ einfach, hab A als Stützvektor, woraus sich dann die Spannvektoren:
$\begin{eqnarray*} \vec{AB} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} <br /> \vec{AC} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ergeben und damit für die Ebene
$\begin{eqnarray*} E:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Hierbei hab ich so ein Problem.. Ich hab zunächst aus der Paramterform eine Koordinatenform gemacht, für die ich $\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2-x_3=1 \end{eqnarray*}$ rausbekommen habe.
Dann habe ich die Gerade aufgeteilt in
$\begin{eqnarray*} x_1=-4,5+4k<br /> x_2=kt<br /> x_3=a+2k \end{eqnarray*}$

und das dann in die Ebenengleichung eingesetzt, aber hab irgendwie zu viele Parameter!?
Am Ende hab ich nach dem Einsetzen und soweit es möglich ist (besser gesagt: so weit es mir möglich war) vereinfacht aber hab dann trotzdem noch da stehen

$\begin{eqnarray*} k(6+t)-a=10 \end{eqnarray*}$

Was muss ich jetzt hier weiter machen?

c) Bei c) versteh ich noch nichtmal so genau was die Frage ist, und dementsprechend was genau ich machen muss..

Hoffe mir kann jemand helfen..

LG

13.02.2013, 08:17

Bürgi

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RE: Lage von Gerade zu Ebene
1. Deine Ebenengleichung ist richtig.

2. Zu b):

Du bleibst genau einen Schritt vor der endgültigen Lösung stehen:

Aus

$\begin{eqnarray*} k(6+t)-a=10 \end{eqnarray*}$

folgt: $\begin{eqnarray*} k = \frac{a+10}{t+6} \end{eqnarray*}$

Statt die Frage der Aufgabe zu beantworten, stelle Dir die Frage, für welche t gibt es keinen Schnittpunkt. Dann kannst Du auch die Frage der Aufgabe beantworten.

3. Bei c) sollst Du a und t so bestimmen, dass die Gerade in der Ebene liegt. Das Ergebnis aus b) darf benutzt werden. Augenzwinkern

13.02.2013, 15:22

Jan1234

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RE: Lage von Gerade zu Ebene
oh ja okay, das klingt natürlich logisch Hammer

Bin mir jetzt nicht sicher ob das das war, worauf du mich hinweisen wolltest, aber t muss natürlich =/= -6 sein..
Wäre es sinnvoll den Term für k in die Geradengleichung einzusetzen?

Danke für die Hilfe schonmal Freude

13.02.2013, 20:42

Bürgi

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RE: Lage von Gerade zu Ebene
Du solltest die Bedingung ermitteln unter der es Schnittpunkte gibt. Nun weiß Du, wann es keinen einzelnen Schnittpunkt geben kann, also ...

Was berechnest Du eigentlich, wenn Du k in die Geradengleichung einsetzt? Und was bedeutet das für Deine Aufgabenstellung?

13.02.2013, 21:38

Jan1234

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RE: Lage von Gerade zu Ebene
okay also bei b) schreib ich dann, dass es Schnittpunkte für t =/= -6 gibt ?
naja wenn ich k in die Geradengleichung einsetze bekomme ich doch eigentlich den gemeinsamen Punkt raus oder?

14.02.2013, 15:27

Bürgi

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RE: Lage von Gerade zu Ebene

Zitat:

bei b) schreib ich dann, dass es Schnittpunkte für t =/= -6 gibt

Gut!

Nun überlege, wann es keine Schnittpunkte geben kann ... und warum Du den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec v = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ im Aufgabenteil c) gebrauchen kannst.

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