Taylor

13.02.2013, 00:35

Taylor

Meine Frage:
Hallo leute ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen sie das Taylopolynm P2 vom Grad 2 für die Funktion:

f: [ 0, pi/4 ]

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln\sqrt{sin(x + \frac{\pi }{4}) } \end{eqnarray*}$

Wie leite ich das ab ?

Hier habe ich schon probleme.

Meine Ideen:
leider keine

13.02.2013, 00:58

Dopap

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versuch mal:

$\begin{eqnarray*} 2f(x)=\ln(\sin(x+\frac 14 \pi)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)=\frac {1}{\tan(x+\frac 14 \pi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f''(x)=... \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 01:44

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Wie hast du das genau abgeleitet?

13.02.2013, 02:33

Dopap

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln\bigg ( \sqrt{\sin(x+\frac14 \pi)}\bigg ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac 12 \ln(\sin(x+\frac 14 \pi)) \end{eqnarray*}$ ist klar ( Potenzgesetz )

$\begin{eqnarray*} 2 f'(x)= \frac {1}{\sin(x+\frac 14 \pi))} \cdot \cos(x+\frac 14 \pi)\cdot 1 \end{eqnarray*}$

Ableitung des ln, Kettenregel, Kettenregel

$\begin{eqnarray*} 2 f'(x)= \frac {\cos(x+\frac 14 \pi))} {\sin(x+\frac 14 \pi)} \end{eqnarray*}$

das könnte man wie schon geschrieben als Inverses des tan schreiben, aber so ist es auch in Ordnung. Augenzwinkern

13.02.2013, 02:39

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Aber wenn man das dann als tan schreibt , warum kürzt sich im Zähler der Klammer Ausdruck ?

13.02.2013, 02:50

Dopap

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du stellst Fragen verwirrt

$\begin{eqnarray*} 2 f'(x)= \frac {\cos(x+\frac 14 \pi))} {\sin(x+\frac 14 \pi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 f'(x)= \frac {1}{\frac {\sin(x+\frac 14 \pi))} {\cos(x+\frac 14 \pi)}} \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 02:52

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Soll ich bei der 2 Ableitung die Quotientenregel anwenden?

13.02.2013, 02:57

Dopap

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nee, die Produktregel Big Laugh

Spass beiseite: was sonst verwirrt

13.02.2013, 03:05

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Die zweitenableitung sieht so aus:

(1)/(cos^2x*(tan(x+Pi/4)^2)

3Ableitung: wieder quotientenregel?

13.02.2013, 03:16

Dopap

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das scheint nicht zu stimmen. Ausserdem wollten wir auf den tangens doch verzichten.

$\begin{eqnarray*} 2f''(x)=-\frac {1}{(\sin(x+\frac 14 \pi))^2} \end{eqnarray*}$

unter Berücksichtigung, dass $\begin{eqnarray*} sin(u)^2 +cos(u)^2 = 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Weitere Ableitungen sind für das Taylorpolynom 2. Grades nicht notwendig.

13.02.2013, 03:21

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Tut mir leid das ich dich nochmal Nerven muss . Aber ich glaub du musst mir mal erklären wie du auf diese Ableitung kommst.

Ich verstehe das nicht.

13.02.2013, 03:43

Dopap

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um diese Uhrzeit hat man keine Nerven mehr.

Ich darf doch mal zu Abkürzung $\begin{eqnarray*} x+\frac 14 \pi = z \end{eqnarray*}$ setzen, da z'=1 ist

$\begin{eqnarray*} 2f'(z)= \frac {\cos(z)}{\sin(z)} \end{eqnarray*}$

also vom Quotiententyp $\begin{eqnarray*} g=\frac {u}{v} \end{eqnarray*}$

nach Regel gilt:

$\begin{eqnarray*} g'= \frac {u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$ übertragen demnach:

$\begin{eqnarray*} 2f''(z)=\frac {-\sin(z)\cdot \sin(z) -(\cos(z)\cdot \cos(z))}{\sin^2(z)}= \frac {-1}{\sin^2(z)} \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 03:54

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Oh hart. Darauf wäre ich ehrlich gesagt nicht selber gekommen.

Ok die Taylor Formel jetzt:

Tn(x)= f(a)+ f'(a)/1!* (x-a)+ ...... Usw

Für f'(a) = tan (Pi/2 ) = unendlich nach meiner formelsammlung . Stimmt das ? Hier habe ich für x=Pi/4 eingesetzt

Und dopap für das x muss ich doch in meiner Formel Pi/12 einsetzen oder ?

13.02.2013, 17:02

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Hat jemand paar tips für mich?

13.02.2013, 21:06

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Wie gehe ich denn her weiter vor leute?

13.02.2013, 21:08

Dopap

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ich würde für den Entwicklungspunkt a=0 einsetzen.

13.02.2013, 21:29

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Ok wenn ich in die erste Ableitung 0 einsetze für x dann ergibt das doch 0 oder ?

14.02.2013, 14:48

Dopap

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wir haben doch:

$\begin{eqnarray*} 2f(x)=\ln(\sin(x+\frac 14 \pi)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f'(x)=\frac {\cos(x+\frac14 \pi)}{\sin(x+\frac 14 \pi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2f''(x)=-\frac {1}{\sin^2(x+\frac14 \pi)} \end{eqnarray*}$

und nun x=0 :

$\begin{eqnarray*} 2T_2(x,0)=\ln(\sin(\frac 14 \pi))+\frac {\cos(\frac 14 \pi)}{\sin(\frac 14 \pi)}\cdot x +\frac {-1}{\sin^2(\frac14 \pi)}\cdot \frac {x^2}{ 2} \end{eqnarray*}$

jetzt noch vervollständigen.

14.02.2013, 14:49

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Kann mir noch jemand paar tips geben ?

14.02.2013, 14:51

Dopap

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mehr Tips geht nicht!

14.02.2013, 14:59

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Warum stehen bei deiner Formel keine Fakultäten immer Nenner ?

Oder welche Formel hast du benutzt?

14.02.2013, 15:05

Dopap

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na ja,

$\begin{eqnarray*} 0!=1<br /> 1!=1<br /> 2!=2<br /> x^0=1 \end{eqnarray*}$

habe mir erlaubt, das gleich einzubauen.

studierst du ?

14.02.2013, 16:35

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Ich weiss nicht irgendwie sieht das Polynom so aus bei mir dopap.

$\begin{eqnarray*} ln(sin(\frac{\pi }{4}) + \frac{cos(\frac{\pi }{4}) }{sin(\frac{\pi }{4} )}*x - \frac{1}{\frac{sin^2(x+pi/4)}{2!} } *x^2 \end{eqnarray*}$

Was amche ich falsch?

14.02.2013, 17:31

Dopap

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Zitat:

Original von Ty
Ich weiss nicht irgendwie sieht das Polynom so aus bei mir dopap.

$\begin{eqnarray*} ln(sin(\frac{\pi }{4}) + \frac{cos(\frac{\pi }{4}) }{sin(\frac{\pi }{4} )}*x - \frac{1}{\frac{sin^2(x+pi/4)}{2!} } *x^2 \end{eqnarray*}$

Was mache ich falsch?

nicht viel:

$\begin{eqnarray*} 2T_2(x)=\ln(\sin(\frac{\pi }{4})) + \frac{\cos(\frac{\pi }{4}) }{\sin(\frac{\pi }{4} )}*x - \frac{1}{\sin^2({\color{red}0}+\pi/4)2!} *x^2 \end{eqnarray*}$

so, sinus und cosinus von $\begin{eqnarray*} \frac 14 \pi =\frac 12 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 18:09

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Für x^2 muss ich auch 0 einsetzen oder ?

14.02.2013, 18:36

Dopap

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keine gute Idee unglücklich

dein Polymom braucht doch eine Variable (=x)

14.02.2013, 18:44

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Als ergebnis kommt dann wohl das raus:

$\begin{eqnarray*} ln|\frac{1}{2}*\sqrt{2}|+x - \frac{1}{\sqrt{2} }*x^2 \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 18:57

Dopap

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$\begin{eqnarray*} 2T_2(x)=-\frac 12 \ln(2)+ x - x^2 \end{eqnarray*}$

bitte mehr Sorgfalt !

14.02.2013, 18:59

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Das verstehe ich wieder mal nicht.

Was habe ich denn falsch gemacht?

14.02.2013, 19:11

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap

$\begin{eqnarray*} 2T_2(x)=...- \frac{1}{\sin^2({\color{red}0}+\pi/4)2!} *x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... - \frac{1}{\sin^2(\pi/4)2!} *x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... - \frac{1}{(\frac 12 \sqrt 2)^2 2!} *x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... - \frac{1}{(\frac 14 \cdot 2) 2} *x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... - \frac{1}{\frac 14 \cdot 4} *x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... -x^2 \end{eqnarray*}$

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Taylor

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