Stochastik - Kreisdiagramm?

13.02.2013, 12:17

rousie

Stochastik - Kreisdiagramm?

Meine Frage:
Also seit kurzem haben das Thema Stochastik in Mathe angefangen und bisher habe ich die Sachen einigermaßen verstanden, aber die Aufgabe mit dem Kreis kann ich einfach nicht lösen. (Wenn es Würfeln wären, wäre es leichter)

Also hier die Aufgabe:

Die Zufallsgröße X stelle den Gewinn beim Glücksrad von Bild 36/1 dar, wobei die Wahrscheinlichkeit für einen Kreissektor gleich dem Anteil der Fläche des Kreissektors an der Gesamtfläche ist.
[attach]28460[/attach]
a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
b)Berechnen sie E(x), V(x) und sigma(x).
c)Wie groß muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?

Meine Ideen:
Meine Lösungsideen sind alle nicht weiterentwickelt, sondern nur kleine Überlegungen:

a)
Wie man am Bild erkennen kann, hat der kleinste Kreisanteil den Winkel 45°, somit hat der größte Anteil (lila) 180° und der andere (orangene)135°. Insgesamt hat nämlich ein Kreis 360°. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist somit, so:
1? --> 180° --> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
2? --> 45° --> $\begin{eqnarray*} \frac{45}{360}=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$
3? --> 135° --> $\begin{eqnarray*} \frac{135}{360} = \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} E(x)= x_{1} \cdot p_{1} + x_{2}\cdot p_{2}+x_{3}\cdot p_{3} ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(x)= x_{1} \cdot \frac{1}{2} + x_{2} \cdot \frac{1}{8} + x_{3} \cdot \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

Weiter keine Ahnung. Und zu den anderen beiden habe ich nur die Formel, da ich nicht weiß, wie ich mit denen rechnen soll.

$\begin{eqnarray*} V(x)= \sum\limits_{i=1}^n (xi - E(x))^2\cdot pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sigma(x)= \sqrt{V(x)} \end{eqnarray*}$

c) Hier habe ich überhaupt keine Ahnung.

13.02.2013, 12:21

Math1986

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?
a) Die Wahrscheinlichkeiten sind richtig soweit.

b) Die Zufallsvariable gibt dir den Gewinn an, es sind also in die Formel die jeweiligen Gewinne einzusetzen.
Die Varianz erhälst du dann durch Einsetzen.

c) Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz dem Erwartungswert des Spieles entsprechen

13.02.2013, 12:43

rousie

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?

Zitat:

Original von Math1986
b) Die Zufallsvariable gibt dir den Gewinn an, es sind also in die Formel die jeweiligen Gewinne einzusetzen.

Echt? Wollte ich erst so machen, kam mir aber irgendwie komisch vor. Also bin ich doch nicht so schlecht^^ Aber wie berechne ich V(x) genau? Für E(x) setzte ich ja ein, aber was ist mit dem n , xi und pi? Setze ich da etwas ein?

Zitat:

c) Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz dem Erwartungswert des Spieles entsprechen

Erwartungswert? Wann entspricht er denn dem Spieler? Wie finde ich es heraus?

13.02.2013, 12:48

Math1986

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?

Zitat:

Original von rousie

Zitat:

Original von Math1986
b) Die Zufallsvariable gibt dir den Gewinn an, es sind also in die Formel die jeweiligen Gewinne einzusetzen.

Zeig doch mal das Ergebnis für E(X)

V(X) berechnest du genauso: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , da 3 mögliche Ausgänge. $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ gibt dir den Gewinn von Fläche j an, und $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit. Einsetzen und ausrechnen.

Zitat:

Original von rousie

Zitat:

c) Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz dem Erwartungswert des Spieles entsprechen

Erwartungswert? Wann entspricht er denn dem Spieler? Wie finde ich es heraus?

Der Erwartungswert ist E(X), er entspricht dem durchschnittlichen gewinn. Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz genau so hoch sein wie der Erwartungswert.

13.02.2013, 13:55

rousie

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?

Zitat:

Zeig doch mal das Ergebnis für E(X)

$\begin{eqnarray*} E(x)= 1 \cdot \frac{1}{2} + 2\cdot \frac{1}{8} + 3\cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{8} = 1,875 \end{eqnarray*}$

Zitat:

V(X) berechnest du genauso: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , da 3 mögliche Ausgänge. $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ gibt dir den Gewinn von Fläche j an, und $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ die dazugehörige Wahrscheinlichkeit. Einsetzen und ausrechnen.

$\begin{eqnarray*} V(x)= \sum\limits_{i=1}^3 (xi - 1,875)^2\cdot pi \end{eqnarray*}$
Bei xi und pi bin ich noch unsicher, also wenn xi den Gewinn angibt, muss ich dann die Eurobeiträge zusammen addieren? Also 1+2+3=6?
Und bei pi=360 (wegen den 360°) oder pi=8?
Oder muss ich für jede einzelne Möglichkeit xi berechnen?

13.02.2013, 14:58

Math1986

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?

Zitat:

Original von rousie

Zitat:

Zeig doch mal das Ergebnis für E(X)

$\begin{eqnarray*} E(x)= 1 \cdot \frac{1}{2} + 2\cdot \frac{1}{8} + 3\cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{8} = 1,875 \end{eqnarray*}$

Richtig! Sehr gut!

Zitat:

Original von rousie

Zitat:

Du berechnest zunächst jede einzelnen Summanden und bildest dann die Summe
$\begin{eqnarray*} V(x)= \sum\limits_{i=1}^3 \left(x_i - 1,875\right)^2\cdot p_i \end{eqnarray*}$

Also bspw ist $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1=\frac 12 \end{eqnarray*}$

Einsetzen und ausrechnen.

13.02.2013, 15:01

rousie

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?
Also, ist es so richtig?

$\begin{eqnarray*} E(x)=1,875 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(x)=\sum\limits_{i=1}^3 (xi - E(x))^2 \cdot pi = \frac{1}{2}\cdot \left(1-1,875\right)^2+ \frac{1}{8}\cdot \left(2-1,875\right)^2+ \frac{3}{8}\cdot \left(3-1,875\right)^2 =0,859 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sigma(x)= \sqrt{V(x)} = \sqrt{0,859}=0,927 \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 15:02

Math1986

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?
Ja das ist richtig

13.02.2013, 15:07

rousie

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RE: Stochastik - Kreisdiagramm?
cool, danke für die Hilfe.

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