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13.02.2013, 16:11	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen Meine Frage: Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe: Bestimme mit Hilfe des Einschlieungskriteriums den Grenzwert der Folge: $\begin{eqnarray} an = \sqrt[n]{\frac{3n+2}{n+1} } \end{eqnarray}$ für n element von N . Wie gehe ich genau hier vor? Meine Ideen: leider keine
13.02.2013, 16:15	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
du suchst dir eine folge die größer ist und eine folge die kleiner ist, die beide gegen den gleichen grenzwert konvergieren. Dann konvergiert deine folge auch und zwar gegen den selben grenzwert. Als obere grenze wäre zB diese geeignet: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\frac{3n+2}{n+1}}<\sqrt[n]{\frac{3n+3}{n+1}}=\sqrt[n]{\frac{3(n+1)}{n+1}}=\sqrt[n]{3} \end{eqnarray}$
13.02.2013, 16:55	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[n]{\frac{3n+2}{n^2 +1} } \end{eqnarray}$ Wäre das eine untereg grenze?
13.02.2013, 17:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon, hilft aber nicht sonderlich. Die untere Grenze/Folge kannst du konstant wählen.
13.02.2013, 17:56	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du genau?
13.02.2013, 18:05	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit meine ich, dass du die Folge nach unten durch eine Konstante abschätzen kannst.
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13.02.2013, 18:09	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich dabei die wurzel weglassen ? Oder einfach nte wurzel aus 1/3
13.02.2013, 18:11	niko86	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch den Nenner größer zu machen und den Zähler kleiner, sodass ich dass $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ rauskürzt und du wieder eine Zahl unter der $\begin{eqnarray} \|n-ten \end{eqnarray}$ Wurzel hast!
13.02.2013, 18:16	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
nte wurzel aus 3/n^2+1 Das passt oder?
13.02.2013, 18:41	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt es leute?
13.02.2013, 19:02	tobi_t	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abschätzung stimmt aber hilft doch nicht wirklich oder? Wenn du davon den Grenzwert ausrechen kannst, dann hättest du auch direkt den Grenzwert der Ausgangsfolge berechnen können!
13.02.2013, 19:13	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich jetzt drauf kommen?
13.02.2013, 19:19	tobi_t	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Tipp war ja, so nach unten abzuschätzen und sich das n rauskürzt bzw. kein n mehr da ist. Der Zähler wird kleiner, wenn man positive summanden weglässt...der Nenner muss größer gemacht werden, also erstzt man z.b. die 1 durch n
13.02.2013, 19:27	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
So? Nte Wurzel aus 3/n+n ?
13.02.2013, 19:30	tobi_t	Auf diesen Beitrag antworten »
fast, lass die 3n oben stehen und du kannst das n kürzen (im nenner stehen ja 2n)
13.02.2013, 20:28	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du 3n /2n oder ? Oder das hier : 3n/n ?
13.02.2013, 20:32	tobi_t	Auf diesen Beitrag antworten »
das zweite geht nicht! das erste und das n kürzen!
13.02.2013, 20:44	IT	Auf diesen Beitrag antworten »
nte wurzel aus 3/2 Aber ich versteh nicht genau , warum ist genau dieses Ergebnis richtig?
14.02.2013, 06:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht mir aber nicht wie eine Konstante aus... Verwenden könntest du es schon, es geht aber auch einfacher.
14.02.2013, 09:16	It	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Tobi hat gemeint , es wäre richtig.
14.02.2013, 11:03	Jello Biafra	Auf diesen Beitrag antworten »
Es kommt drauf an was Du so an Hilfsmitteln ins Spiel bringen darfst. So ohne Weiteres ist gar nicht klar warum Du hier einfach den Radikanden abschätzen darfst. Wenn Du aber um die Monotonie der Wurzel weißt und zudem $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,~a>0 \end{eqnarray}$ bekannt ist, dann bist Du mittels $\begin{eqnarray} 1<\frac{3n+2}{n+1}<3 \end{eqnarray}$ sofort fertig. Andernfalls hast Du vielleicht schon mal was von AM-GM-HM (der Ungleichung zw. artith., geom. und harm. Mittel) gehört. Aus der folgt nämlich: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{3n+2}{n+1}+n-1}n\geq\sqrt[n]{\frac{3n+2}{n+1}}\geq\frac n{\frac{n+1}{3n+2}+n-1} \end{eqnarray}$ womit dann auch alles klar ist.

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