Nullstellenmenge holomorpher Funktionen

13.02.2013, 16:22

Tobi_t

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Nullstellenmenge holomorpher Funktionen

Meine Frage:
Hey Community,

ich bräuchte eine Beschätigung meiner Argumentation :-)

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph in $\begin{eqnarray*} G:=\widehat{\mathbb{C}}\backslash \{1\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\infty)=0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ bezeichne die Nullstellenmenge von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Man weiß: $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ ist endlich oder abzählbar unendlich und hat keinen Häufungspunkt in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Der erste Fall ist ok, d.h. ich habe $\begin{eqnarray*} S(f)=\{a_1,\dots,a_N\} \end{eqnarray*}$ .

Was kann man im zweiten Fall sagen, oder besser ausgedrückt, was kann man über die Folge der Nullstellen sagen? Es existiert ja eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} S(f)=(a_1,a_2,...) \end{eqnarray*}$ , wenn man das so schreiben kann. Jetzt muss doch $\begin{eqnarray*} a_n\to 1 \end{eqnarray*}$ gehen, da man sonst einen Häufungspunkt hat oder?

Gruß und danke im voraus!

Tobi

13.02.2013, 17:13

tobi_t

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oder gilt diese bekannte tatsache in der erweiterten Ebene nicht?

13.02.2013, 17:25

Che Netzer

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RE: Nustellenmenge holomorpher Funktionen
Ich nehme an, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ soll auch nicht konstant sein.
Darfst du denn den Identitätssatz benutzen?

In deiner Argumentation muss jedenfalls nicht $\begin{eqnarray*} a_n\to1 \end{eqnarray*}$ gelten.
Erstens darf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch keinen Häufungspunkt in $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ haben, zweitens kann $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ auch abzählbar unendlich sein, ohne dass es einen Häufungspunkt gibt.

13.02.2013, 17:38

tobi_t

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Hey,

f soll nicht konstant sein. Identitätsatz ist erlaubt! Woaruaf ich eigentlich gerne hinaus möchte: entweder soll $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ endlich sein (geht) oder

$\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} |a_n|\to \infty \end{eqnarray*}$ ...letzteres krieg ich aber nicht hin!

13.02.2013, 17:42

Che Netzer

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Was genau versuchst du denn zu zeigen? verwirrt

verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ überabzählbar wäre, so gäbe es einen Häufungspunkt.
Das zeigt eigentlich schon alles.

13.02.2013, 17:47

tobi_t

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jetzt kann ich nicht mehr folgen :-)

Wenn $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist, dann hätte ich gerne, dass für die "Folge" der Nullstellen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend mit $\begin{eqnarray*} |a_n|\to \infty \end{eqnarray*}$

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13.02.2013, 17:50

Che Netzer

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Wozu?
Wolltest du nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ (nicht überabzählbar ist und) keine Häufungspunkte hat?

13.02.2013, 17:53

tobi_t

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Ne, sorry, wenn das so rüber kam! Ich brauche wirklich die Folge so, wie es da steht!

13.02.2013, 18:04

Che Netzer

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Ah, wenn du das also zeigen möchtest, dann musst du zunächst $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ so abzählen, dass die Beträge tatsächlich monoton steigend wären.
Wenn nun $\begin{eqnarray*} \lvert a_n\rvert\leq C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ wäre – was ließe sich dann folgern?

13.02.2013, 18:07

tobi_t

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Dann wäre die Folge der Beträge monoton wachsend und beschränkt, somit konvergent. Äquivalent, $\begin{eqnarray*} a_n\to a \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ , Widerspruch, aber wenn $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , dann schlecht!

13.02.2013, 18:14

Che Netzer

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Fast.
Es folgt die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \lvert a_n\rvert \end{eqnarray*}$ , nicht die von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .
Aber betrachte mal die kompakte Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C:\lvert z\rvert<C\} \end{eqnarray*}$ .

13.02.2013, 18:25

tobi_t

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Die Menge ist kompakt? Die ist doch offen

13.02.2013, 18:26

Che Netzer

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Ups

Dann such dir eine Korrektur aus:

Zitat:

die relativ kompakte Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C:\lvert z\rvert<C\} \end{eqnarray*}$

oder

Zitat:

die kompakte Menge $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C:\lvert z\rvert\leq C\} \end{eqnarray*}$ .

Je nachdem, ob man $\begin{eqnarray*} \lvert a_n\rvert<C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lvert a_n\rvert\leq C \end{eqnarray*}$ angenommen hat.

13.02.2013, 18:41

tobi_t

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Sorry, habe zu schnell getippt und gesendet!

Leider sagt mit dein Tipp nichts, worauf wollen wir hinaus damit?

13.02.2013, 18:42

Che Netzer

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Was kann man denn mit Folgen in einer (relativ) kompakten Menge anfangen?
Bzw. was existiert für solche Folgen?

13.02.2013, 18:56

tobi_t

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ahhhh....konvergente Teilfolge? Also Satz von Bolzano-Weierstraß sagt, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge hat. Also hat $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine und ist somit wieder ein HP...aber dieser könnte doch 1 sein oder?

Wofür jetzt noch die kompakte menge`?

13.02.2013, 19:00

tobi_t

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Bzw. kompakt ist ja äquivalent zu Folgenkompakt, d.h. es ex. Teilfoge deren Grenzwert wieder in der Menge ist. Aber es könnte ja sein, dass z.B. C=2 ist und die Teilfolge konvergiert gegen 1. Dann habe ich keinen Wiederspruch oder?

13.02.2013, 19:02

Che Netzer

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Auch wenn die Teilfolge gegen Eins konvergiert, ergibt sich ein Widerspruch.
Erstens muss Eins ja offensichtlich eine Polstelle sein, zweitens gilt der Identitätssatz auch, wenn der Häufungspunkt außerhalb des Gebiets liegt.

13.02.2013, 19:04

tobi_t

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1 ist eine Polstelle, wo ist genau der Widerspruch?

Wie wendest du auf was den Identitätssatz an?

13.02.2013, 19:06

Che Netzer

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Wenn Eins Polstelle ist, dann aber nicht Häufungspunkt der Nullstellenmenge...

Und den Identitätssatz wende ich auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und die Nullfunktion an.
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einer Menge mit Häufungspunkt Null ist, dann ...

13.02.2013, 19:10

tobi_t

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Ich argumentiere dann mit Identitässatz:
$\begin{eqnarray*} f(a_{n_k})=0 \end{eqnarray*}$ mit HP ==> f identischen Null, Widerspruch!

13.02.2013, 19:11

Che Netzer

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Ja.
Und deshalb darf die Nullstellenmenge nicht beschränkt sein.

13.02.2013, 19:12

tobi_t

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Wir haben ja dann gezeigt, dass wirklich $\begin{eqnarray*} |a_n|\to\infty \end{eqnarray*}$ ...aber gilt nicht

$\begin{eqnarray*} |a_n|\to\infty \end{eqnarray*}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray*} a_n\to\infty \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ein HP?

13.02.2013, 19:15

Che Netzer

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Unendlich kann auch gerne ein Häufungspunkt sein.

13.02.2013, 19:16

tobi_t

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Aber unendlich liegt doch im Gebiet

13.02.2013, 19:24

tobi_t

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Deine Funktion erfüllt eigentlich genau das, was wir gezeigt haben.

Nur versteh ich nicht, wenn $\begin{eqnarray*} f(\infty)=0 \end{eqnarray*}$ und wir eine Folge von Nullstellen haben, die da gegen konvergiert, dann ist $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ doch nicht mehr isoliert, also Nullstellenmenge nicht mehr dirskret!?!

13.02.2013, 19:27

Gastmathematiker

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Um das mal kurz richtig zu stellen. $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ darf kein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} S(f) \end{eqnarray*}$ sein. Die 1 hingegen kann ein Häufuungspunkt sein, denn die Einschränkung, dass in 1 ein Pol ist, steht da nirgends.

13.02.2013, 19:28

tobi_t

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Hi,
1 soll pol sein. Aber wie versteh ich das jetzt mit unendlich? Unendlich ist ja eine Nullstelle

13.02.2013, 19:37

Gastmathematiker

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Sehe zwar nicht wo das steht, in dem Fall kann man aber sogar die Endlichkeit der Nullstellenmenge zeigen (abzählbar unendlich kann nicht sein).

Führe den Fall auf den Fall einer ganzen Funktion zurück.

13.02.2013, 19:41

tobi_t

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Mit Pol steht da nicht, hatte ich nicht explizit hingeschrieben. Verstehe jetzt nicht genau was du vor hast. Also wir haben ja gerade gezeigt, dass die Beträge von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich gehen. Dies kann aber auch nicht sein, weil dann Unendlich ein HP wäre?

13.02.2013, 19:51

Gastmathematiker

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Gut, wenn du sagst bei 1 ist ein Pol, OK, das ändert aber einiges, denn in dem Fall kann es nur endlich viele Nullstellen geben (wenn in 1 kein Pol ist auch abzählbar unendlich viele).

Betrachte einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{1-z}+1\right) \end{eqnarray*}$ , was kannst du über diese Funktion sagen?

13.02.2013, 20:06

tobi_t

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hmm.......nennen wir die Funktion mal g,

dann ist $\begin{eqnarray*} g(1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(\infty)=f(1) \end{eqnarray*}$ ...also

g eine ganze Funktion mit Pol in unendlich. Also betrachten wir die Nullstellen Menge von g....diese ist endlich oder es gilt $\begin{eqnarray*} a_n \to \infty \end{eqnarray*}$ ...das bedeutet

$\begin{eqnarray*} 0=g(a_n)=f(\frac{1}{1-a_n}+1) \end{eqnarray*}$

bildet man den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} 0=\lim\limits_{n\to\infty}f(\frac{1}{1-a_n}+1)=f(1) \end{eqnarray*}$ und somit 1 hebbar, Widerspruch.
Also kann in diesem Fall die Nullstellenmenge nur endlich sein!?!

Kann man auch so vorgehen, wenn 1 wesentlich ist?

Was mache ich wenn 1 kein Pol ist?

13.02.2013, 20:19

Gastmathematiker

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Ja, man auch einfach sagen, dass g ein Polynom ist (ganz und Pol in unendlich) und somit nur endlich viele Nullstellen hat.

Zitat:

Original von tobi_t
Kann man auch so vorgehen, wenn 1 wesentlich ist?

Was mache ich wenn 1 kein Pol ist?

Man kann das gleiche g betrachten, die ganzen restlichen Dinge gahen aber schief, daher habe ich ja mehrmals nachgefragt.

13.02.2013, 20:22

tobi_t

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Das mit dem Polynom kenn ich nicht den Satz!

Was macht man denn wenn 1 wesentlich ist? Das müsste doch wirklich genau so gehen.

Und wenn 1 von vornerein garnichts ist, also f dort holomorph, also holomorph in der erweiterten Ebene. Bitte hier nochmal um Rat

13.02.2013, 20:42

tobi_t

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wie blöd, wenn f in 1 holomorph ist, dann gilt ja der Satz: Jede holomorphe Funktion auf $\begin{eqnarray*} \widehat{\mathbb{C}} \end{eqnarray*}$ ist konstant, was vorher ausgeschlossen war! Also auch ein Widerspruch!

Was sagst du zu 1 wesentlich?

14.02.2013, 08:33

tobi_t

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Moin,

war so bis jetzt dann alles korrekt? Gruß

14.02.2013, 15:28

tobi_t

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Also das einzige, was ich nicht hinbekomme, ist wenn 1 wesentlich ist! Kann dazu nichts sagen...bitte um einen letzten Rat

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