Injektive, aber nicht surjektive Abbildung

13.02.2013, 17:11	MathePaul	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektive, aber nicht surjektive Abbildung Hey Leute, ich habe folgende Aufgabe, an welcher ich hänge. Sei V ein K-Vektorraum mit abzählbar unendlicher Basis $\begin{eqnarray} (e_{i})_{i\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ . Weiter sei $\begin{eqnarray} \phi:V \to V \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung, die gegeben ist durch $\begin{eqnarray} \phi(e_{i})=e_{i}-e_{i+1} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ injektiv, aber nicht surjektiv ist. Ich habe leider keinerlei Ansätze. Nur die Definition von Injektivität und Surjektivität vor mir liegen. Also dass wenn f(a) = f(b) => a = b, dann ist die Abbildung injektiv. Freue mich über Hilfe. Viele Grüße Paul
13.02.2013, 17:20	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Um die Injektivität zu zeigen, würde ich vorschlagen, du wendest die Definition an, und ziegst, wie weit du damit kommst. (Da deine Abbildung linear ist, ist sie genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist (Damit ist die Rechnung wahrscheinlich etwas schöner)) Zur Surjektivität: versuche einen Vektor zu finden, der nicht im Bild liegt.
13.02.2013, 17:32	MathePaul	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bringt mich leider nicht weiter, ich probiere schon die ganze Zeit die Injektivität anzuwenden, aber ich scheiter daran, dass ich einfach nichts "kürzen" kann, sodass ich sie nachgewiesen/gezeigt habe. Und was heißt, Kern = trivial?
13.02.2013, 17:36	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dir die Lösung einfach gebe, bringe ich dich langfristig auch nicht weiter, verstoße gegen das Board-Prinzip und riskiere Streß mit den Moderatoren. Könntest du bitte aufschreiben, was du bereits hast? Dann könnten wir zusammen an den Problemstellen arbeiten.
13.02.2013, 17:41	MathePaul	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \phi(e_{i})=\phi(e_{i+1})\Rightarrow ? e_{i}=e_{i+1}<br /> \phi(e_{i})=e_{i}-e_{i+1}<br /> \phi(e_{i+1})=e_{i+1}-e_{i+2} \end{eqnarray}$ Das Problem ist, wenn ich für i nun irgendein Wert einsetz, dann kann ich das $\begin{eqnarray} e_{i+2} \end{eqnarray}$ nie rauskürzen. Auch nicht durch Umformungen oder wiedereinsetzen der Abbildung.
13.02.2013, 17:52	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ die Basis von V bilden, darfst du davon ausgehen, dass sie verschieden sind. (Basisvektoren sind linear unabhängig). Leider reicht $\begin{eqnarray} i\neq j\Rightarrow \phi (e_i)\neq \phi (e_j) \end{eqnarray}$ noch nicht (sonst wärst du bereits fertig). Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \phi (\sum\limits_{i=1}^n k_i e_i) = \phi (\sum\limits_{i=1}^n k'_i e_i) \Rightarrow \forall i \in \mathbb N :k_i =k'_i \end{eqnarray}$ gilt. ( $\begin{eqnarray} k_i,k'_i \in K \end{eqnarray}$ ) Da eine abzählbare Basis explizit gefordert ist, würde ich das Standardargument für abzählbare Mengen vorschlagen: Induktion
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