Extremwertaufgabe

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13.02.2013, 17:54	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Meine Frage: An einem 100m langen Zaun sollen noch 200m Zaun angefügt werden, sodass ein Rechteck mit möglichst großem Fläacheninhalt eingezäunt wird. Berechne den maximalen Flächeninhalt und die Seiten x und y (wird angefügt). Der Umfang beträgt 300m. Habe etwas ausgerechnet bin mir aber nicht sicher. Könntet ihr bitte nachrechnen? Danke im voraus. Meine Ideen: Das habe ich mir gedacht. A=ab A=(100+x)y u=2(a+b) 300=2((100+x)+y) Ich habe ausgerechnet: x=36,2 y=13,8 A=1875
13.02.2013, 18:04	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du erklären, wie du auf das Ergebnis gekommen bist? (es ist nicht richtig) Bei Flächeninhalten von Rechtecken mit festem Unfang ist der Flächeninhalt maximal, wenn das Rechteck ein Quadrat ist. (Dies ist hier zwar ausgeschlossen, aber eine möglichst "quadratische" Lösung verspricht dennoch den größten Flächeninhalt.)
13.02.2013, 18:11	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
A= (100+x)y 300=2+((100+x)+y) 300=200+2x+2y 100-2x=2y y =50-x A=(100+x)(50-x) A=5000-100x+50x-x^2 A´=-2x-50 A``=-2 A´=0 x=-25 (Maximum) an der Stelle habe ich mich verrechnet: A=3125m^2 3125= -x^2-50x+5000 x=25, y=25 Stimmt es jetzt?
13.02.2013, 18:22	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
"x=-25 (Maximum)" Das ist genau das Quadrat von dem ich gesprochen habe, allerdings ist es nicht erlaubt vom 100m Zaun ein Stück abzubauen. Danach scheinst du mit x=25 weiter zu rechnen. Das ist falsch. Wenn du im erlaubten Intervall keine Nullstelle in der Ableitung hast (obwohl sie überall definiert ist), ist das gesuchte Maximum genau an einer Extremstelle des Intervalls.
13.02.2013, 18:25	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber im positiven Bereich gibt es keinen Extrempunkt. (Hochpunkt)
13.02.2013, 18:30	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Die Ableitung des Maximums wird diesmal nicht 0 sein. Das meinte ich auch mit meinem letzten Satz. Alternativ kann man auch betrachten, wie sich der Flächeninhalt in abhängigkeit von x ändert. Falls du einen graphischen Taschenrechner benutzen darfst, würde es sich anbieten diese Funktion im erlaubten Intervall anzeigen zu lassen. (Dann siehst du auch, dass 3125m² noch nicht das Maximum sind.)
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13.02.2013, 18:35	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also ist der maximale Fläacheninhalt 5625m^2. Aber dann würde x=-25m und y= 75m sein und das geht doch nicht.
13.02.2013, 18:42	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Ableiten findest du nur lokale Extrema, falls die Ableitung in der Umgebung um das entsprechene Extrema definiert ist. Da deine Funktion nur für x in [0,50] definiert ist, musst du die Randpunkte zusätzlich untersuchen. Weder x noch y darf negativ sein; du solltest dir also nur den Bereich ansehen, in dem diese Bedingungen erfüllt sind.
13.02.2013, 18:45	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie untersuche ich das? Rechne ich einfach den Funktionswert an der Stelle 0 und 50 aus?
13.02.2013, 18:49	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Sorry, in der Uni kann es vorkommen, dass der Rand unendlich viele Punkte enthält, dann ist es nicht mehr so einfach, deswegen neige ich zu der allgemeinen Erklärung^^ Bei 2 Punkten kannst du aber einfach die Werte ausrechnen.
13.02.2013, 18:53	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Werte jetzt ausgerechnet habe, weis ich doch trotzdem nicht ob das der größte Flächeninhalt ist. Wie bekomme ich jetzt den maximalen Flächeninhalt aus.
13.02.2013, 18:56	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das globale Maximum x gilt entweder, dass die Ableitung f'(x)=0 ist, oder x auf dem Rand liegt. Konkret bedeutet das: x=0 oder x=50 oder f'(x)=0 (wobei du die dritte Möglichkeit bereits ausgeschlossen hast).
13.02.2013, 19:02	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn ich x=0 ist dann ergibt sich auch ein Flächeninhalt von 0. Da gilt: A=1(100+x)y Daraus ergibt sich ein Flächeninhalt von 0. Wenn x=50 dann ergibt sich y=0 Da gilt. y=50-x (Nebenbedingung) Und der Flächeninhalt wäre wieder 0. Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
13.02.2013, 19:29	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du hast nichts falsch verstanden, aber du hast dich verrechnet: x=0 führt zu y=50 A=(100+0)*50 Das ist nicht 0.
13.02.2013, 19:33	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohh. Stimmt. d.h. der maximale Fläacheninhalt beträgt 5000. Die seite x=0m und die seite y=50m Stimmt das?
13.02.2013, 19:36	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt passt es
13.02.2013, 20:16	äää	Auf diesen Beitrag antworten »
DANKE für deine Hilfe!!!!!!

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