Grenzwert von Arctan(x) beweisen

13.02.2013, 18:26	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Arctan(x) beweisen Hallo, Ich schreibe morgen Mathe-Klausur, und bin beim Blick in ein paar Altklausuren bei folgender Aufgabe ins Grübeln gekommen: Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty} arctan(x) \end{eqnarray}$ und Beweisen Sie ihre Behauptung. Also der Wert ist rein intuitiv klar ( $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ), Aber wie beweise ich dies? Meint ihr, so ist das ausreichend? : $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty} arctan(x) = \theta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} tan(\lim_{x\rightarrow \infty} arctan(x) ) = tan{\theta} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow \infty} x = tan{\theta} \end{eqnarray}$ Und nun würde ich argumentieren: Damit x gegen unendlich läuft, muss der Tangens (definiert von $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ) gegen unendlich laufen, was er für $\begin{eqnarray} \theta \rightarrow \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ tut. Das einzige was ich daran auszusetzen habe, dass ich mehr oder weniger $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ in den Tangens einsetze, wo er ja undefiniert ist. Was meint ihr dazu? Habt ihr eine bessere Idee? MfG. Max
13.02.2013, 21:37	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Arctan(x) beweisen Du setzt ja irgendwie von Anfang an schon voraus, dass der Grenzwert existiert. Eigentlich weiß man das ja zunächst nicht. Daher steht die Existenz dieses $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ irgendwie noch in Frage, finde ich. Und in der Tat stehen da jetzt undefinierte Ausdrücke. Da teile ich deine Bedenken. Ich hätte wohl einen anderen Vorschlag, den ich einfacher finde: Der Arkustangens genügt für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ der Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} \arctan(x) + \arctan \left ( \frac{1}{x} \right ) = \frac \pi 2 \end{eqnarray}$ Damit kannst du arbeiten.
13.02.2013, 21:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die natürliche Vorgehensweise wäre m.E., die Argumentation darauf aufzubauen, dass $\begin{eqnarray} \arctan \end{eqnarray}$ als Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray} f:\,\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R},\quad x\mapsto \tan(x) \end{eqnarray}$ definiert ist.

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