Ableitung von Entwicklungsparameter in Taylorserie

13.02.2013, 22:39	physstud	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Entwicklungsparameter in Taylorserie Hallo zusammen, ich bin grad ein wenig am Straucheln.... Und zwar habe ich eine Gleichung, in der ich Teile ersetze gegen Parameter und nachher Taylor-entwickle ich das Ganze in zwei verschiedenen Parametern $\begin{eqnarray} \epsilon_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ . Das Ziel ist nachher Terme grösser als $\begin{eqnarray} \epsilon_{1,2}^2 \end{eqnarray}$ zu vernachlässigen. Nun habe ich allerdings einen Teil der Gleichung in dem eine Ableitung von $\begin{eqnarray} \epsilon_1 \end{eqnarray}$ vorkommt. Wie kann ich generell solche Ableitungen selbst entwickeln? Das ist mir alles ein wenig schwammig.... Liebe Grüsse, physstud PS: Hier vielleicht mal etwas konkreter mein Problem, es geht um eine Geodätengleichung in ART. Meine Koordinaten sind u.a. $\begin{eqnarray} t(\tau) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R(\tau) \end{eqnarray}$ , die nun für die Geodäte von der Eigenzeit $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ abhängen. (Ausserdem kommt der Skalenparameter $\begin{eqnarray} a(t) \end{eqnarray}$ in meiner Metrik vor, Ableitungen davon seien mit Punkt $\begin{eqnarray} \dot{a},\ddot{a} \end{eqnarray}$ gekennzeichnet, Abhängigkeiten unterdrückt.) Ich möchte zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray} \frac{\ddot{a}}{a} R = \frac{\epsilon_1^2\epsilon_2^2}{R} + \mathcal{O}(\epsilon_{1,2}{}^3) \end{eqnarray}$ Und ich weiss, dass $\begin{eqnarray} \frac{\dot{a}}{a} R = \epsilon_1\epsilon_2 \end{eqnarray}$ die zu zeigende Gleichung tritt auf, da ich die Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\,\frac{\dot{a}}{a} = \frac{\ddot{a}}{a} - \frac{\dot{a}^2}{a^2} \end{eqnarray}$ in meiner Geodätengleichung habe. Ich muss doch irgendwie zeigen können, dass diese Terme vernachlässigbar sind und eben unter $\begin{eqnarray} \mathcal{O}(\epsilon_{1,2}{}^3) \end{eqnarray}$ fallen... (noch ein bisschen mehr Hintergrund: Sei T eine Zeitskala wesentlich kleiner als die Lebenszeit des Universums und daher der Parameter $\begin{eqnarray} \epsilon_2 = H T = \frac{\dot{a}}{a} T \end{eqnarray}$ klein. Sei ausserdem die Geschwindigkeit des Objektes (auf der Geodäte) klein und deshalb $\begin{eqnarray} \epsilon_1 = v/c = v \end{eqnarray}$ klein, wo die Lichtgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} c=1 \end{eqnarray}$ . Die Zeitskala T von dem Objekt entspricht ungefähr $\begin{eqnarray} R/v \end{eqnarray}$ . Deshalb gilt die obige zweite Gleichung mit $\begin{eqnarray} HR = \epsilon_1\epsilon_2 \end{eqnarray}$ ) hiiilfe
14.02.2013, 10:48	physstud	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht in kurz, wie kann ich die linke Seite von $\begin{eqnarray} \frac{d\epsilon_2}{dt}\epsilon_1 = \frac{d}{dt} \left(\epsilon_1\epsilon_2\right) = \frac{d}{dt}\left(HR\right) = \frac{\ddot{a}}{a}R - \frac{\epsilon_1^2\epsilon_2^2}{R} \end{eqnarray}$ in Ordnungen von $\begin{eqnarray} \epsilon_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon_2 \end{eqnarray}$ ausdrücken?
14.02.2013, 12:07	physstud	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht ist diese Frage auch einfach nicht sinnvoll und man muss bei Behandlung sehr kleiner Parameter $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ einfach deren Ableitungen =0 setzen. Das ist jetzt wohl mein Fluchtweg, es sei denn, jemand hat da eine schöne fundierte Aussage für mich würde mich über jeden Hinweis freuen!!

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