Grenzwert mit Substitution

14.02.2013, 10:43

Jens.

Grenzwert mit Substitution

Hallo!

Es soll folgender Grenzwert berechnet. Ergebnis liegt vor, ich kann allerdings den Rechenweg der Substitution nicht nachvollziehen.
Aufgabe: $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \rightarrow 0^+}~\frac{exp(-\frac{1}{x})}{arcsin~x} \end{eqnarray*}$

Da Zähler und Nenner gegen 0 gehen, kommt L'Hospital zur Anwendung. das ergibt dann

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{x \rightarrow 0^+}~\frac{exp(-\frac{1}{x})}{arcsin~x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+}~\sqrt{1-x^2}~\lim \limits_{x \rightarrow 0^+}~\frac {exp(-\frac{1}{x})}{x^2} \end{eqnarray*}$

Als nächstes kommt die Substitution von $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ . Dann steht dort
$\begin{eqnarray*} =~1~\lim \limits_{y \rightarrow \infty}~\frac{y^2}{exp(y)}=~\dots~=0 \end{eqnarray*}$

Der Rest wird dann noch 2-mal abgeleitet mit L'Hospital. Ich verstehe hier die Substitution nicht. Zum Einen warum und warum dann im Zähler $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ und im Nenner $\begin{eqnarray*} exp(y) \end{eqnarray*}$ stehen.

Wäre wohl jemand so freundlich mir das zu erklären?

14.02.2013, 11:16

HAL 9000

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Erstmal die Substitution WIRKLICH durchführen, also $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ bzw. umgestellt $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ schlicht EINSETZEN, da führt zu

$\begin{eqnarray*} \frac{\exp\left(-\frac{1}{x}\right)}{x^2} = \frac{\exp(-y)}{\frac{1}{y^2}} = y^2\exp(-y) \end{eqnarray*}$

Tja, und dass $\begin{eqnarray*} a^{-y} = \frac{1}{a^y} \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} a=e \end{eqnarray*}$ gilt, sollte nicht verwundern.

P.S.: Hätte man gleich im ersten Schritt faktorisiert und dann wie erwähnt substituiert

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\exp\left(-\frac{1}{x}\right)}{\arcsin(x)} = \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{\exp\left(-\frac{1}{x}\right)}{x} \cdot \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x}{\arcsin(x)} = \lim\limits_{y\to\infty} \frac{y}{\exp(y)} \cdot \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x}{\arcsin(x)} \end{eqnarray*}$

so wäre einem der eine oder andere L'Hospital-Schritt erspart geblieben.

14.02.2013, 11:31

Jens.

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Herzlichen Dank.

Zitat:

Original von HAL 9000
Tja, und dass $\begin{eqnarray*} a^{-y} = \frac{1}{a^y} \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} a=e \end{eqnarray*}$ gilt, sollte nicht verwundern.

Daran habe ich gar nicht gedacht... Nun ist es klar. Freude

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