Transformation eines Grenzwertausdrucks

14.02.2013, 12:33	strafedonkey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe noch eine aufgabe, wäre nett wenn mir da auch noch jemand helfen würde. Da gehts jetzt wohl mehr um Logarithmen als um Brüche Es geht umn l'hospitalsche Reglen und die Transformation eines Grenzwertausdrucks nach dem Format $\begin{eqnarray} 0\cdot\infty<br /> \end{eqnarray}$ Der zu transformierende ausdruck: $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow0+}{lim}xlnx=\underset{x\rightarrow0+}{lim}\frac{lnx}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ Die Lösung kommt irgendwie auf: $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow0+}{lim}=e^{0}=1<br /> \end{eqnarray}$ um mir zu helfen, habe ich den Ausdruck $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow0+}{lim}xlnx=\underset{x\rightarrow0+}{lim}\frac{lnx}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ gleich ypsilon gesetzt, um den logarithmus in eine potenz verwnadeln zu können, also habe ich folgende Rechnung durchgeführt: $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow0+}{lim}xlnx=\underset{x\rightarrow0+}{lim}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}=y<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} lim\frac{e^{y}}{\frac{1}{x}}=x\|:x<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} lime^{y}=1\Rightarrow limln(1)=y=0<br /> \end{eqnarray}$ 0 wäre ja dann der gesuchte Grenzwert oder nicht? da er aber bei mir 0 ist und nicht 1, habe ich wohl irgendwas verbockt. edit: komme grade drauf, dass ich mal wieder übelsten mist gebaut habe. Ich versuchs nochmal :\
14.02.2013, 12:39	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da müsste eigentlich 0 rauskommen, so, wie du es berechnet hast. Das sieht man hier:
14.02.2013, 12:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass eigentlich der Grenzwert $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{x \to 0^{+} } x^{x}<br /> \end{eqnarray}$ gesucht wird und hier nur die Betrachtung für den durch Umformung entstehenden Exponenten von e durchgeführt wurde? Ansonsten macht x*ln(x) mit L'Hospital ja keine Probleme.
14.02.2013, 12:53	strafedonkey	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, das ist so. Sorry, hab ich verpeilt Aber so wie ich es gemacht habe, war es dann richtig, oder hätte ich noch irgendwie das x im nenner berücksichtigen müssen bei meiner Umformung?
14.02.2013, 13:05	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Die weitere Umformung durchschau ich nicht so ganz. Aber mit L'Hospital lassen sich doch bei $\begin{eqnarray} <br /> \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} <br /> \end{eqnarray}$ Zähler und Nenner bequem getrennt ableiten und dann kürzen.
14.02.2013, 13:10	strafedonkey	Auf diesen Beitrag antworten »
natürlich, ich bin ein Idiot :\ $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow0+}{lim}\frac{1}{x\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}=\underset{x\rightarrow0^{+}}{lim}-x=0<br /> \end{eqnarray}$ ok, passt. Ich hab einfach das ableiten verpeilt :\
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