Taylorreihe

14.02.2013, 12:50

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

Taylorreihe

Hallo,
ich möchte die Taylorreihe von sin(x) in a = 0 bestimmen. Ich habe meinen bisherigen Lösungsweg in den Anhang gepackt und bin soweit das ich das Taylorpolynom von $\begin{eqnarray*} T_{4} \end{eqnarray*}$ bestimmt habe. Von nun an müsste sich das ganze meiner Meinung nach irgendwie wiederholen, da die 4.te Ableitung vom sin ja wieder der sin ist.
Leider habe ich trotzdem keine Ahnung, wie ich nun die Taylorreihe aufstellen soll.
Vielen Dank für Eure Hilfe.

14.02.2013, 12:58

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Taylorreihe
Hast du denn eine allgemeine Formel für die Ableitung?
Ggf. für die $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ -te Ableitung.

Dein Taylor-Polynom vierten Grades stimmt übrigens noch nicht.

16.02.2013, 11:51

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

ok irgendwie scheine ich ja auf dem falschen Weg zu sein. Die $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ -te Ableitung hab ich nicht, aber wofür brauche ich denn gerade die $\begin{eqnarray*} 2n+1 \end{eqnarray*}$ -te Ableitung? Brauche ich nicht nur die n-te Ableitung (die habe ich allerdings auch nicht)?
Hilft mir das nicht weiter, dass ich weiß, dass die Ableitung vom sinus sich periodisch wiederholt?

16.02.2013, 12:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matze9999
Brauche ich nicht nur die n-te Ableitung (die habe ich allerdings auch nicht)?

Die würde dir auch nützen.
Du brauchst ja $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ , daher musst du eine allgemeine Form dafür finden.

16.02.2013, 12:24

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau ich brauche $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ und somit eben eine allg. Form dafür, wie der sinus abgeleitet wird.
Genau da happert es aber, denn ich habe keine Ahnung, wie ich eben auf diese allg. Form kommen soll. Aus diesem Grund habe ich dann eben angefangen die ersten 4 Ableitungen zu bilden. Dadurch habe ich gesehen das sich die Ableitung periodisch wiederholt.
Was mir das nun allerdings für die allg. Ableitung des sin bringt weiß ich nicht.
Wäre schön, wenn du mir die allg. Ableitung und den Weg, wie ich dahin komme zeigen könntest.

16.02.2013, 12:26

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann unterscheide mal nach dem Grad der Ableitung:
Was ist $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch Vier teilbar ist?

Anzeige

16.02.2013, 12:37

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

Also $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ ist 1, 0 oder -1 das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch Vier teilbar ist? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , 0 oder $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist.
Sorry, dass ich das irgendwie nicht verstehe, aber wie bringt mich das nun weiter?

16.02.2013, 12:39

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Matze9999
Also $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ ist 1, 0 oder -1

Ja, $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ kann nur diese Werte annehmen.

Zitat:

das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch Vier teilbar ist? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , 0 oder $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist.

Wie kommst du jetzt darauf, dass $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac14 \end{eqnarray*}$ ist?

Welchen Wert (also Null, Eins oder minus Eins) nimmt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ an, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade ist?

16.02.2013, 12:46

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn n gerade ist dann nimmt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ = 0 an
Wenn n ungerade ist dann nimmt $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0) \end{eqnarray*}$ =1 oder -1 an

16.02.2013, 12:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
Damit kannst du schonmal die geraden Indizes ignorieren.
Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Und dazu musst du feststellen, wann $\begin{eqnarray*} f^{(2n+1)}(0) \end{eqnarray*}$ Eins und wann minus Eins wird.

16.02.2013, 13:04

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

das beduetet, dass ich da nur noch ein $\begin{eqnarray*} (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ vorsetzen muss?!
Also erhalte ich als Taylorreihe von sinx: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig?

16.02.2013, 13:06

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ist zwar gar nicht so schlecht, aber das $\begin{eqnarray*} f^{(2n+1)}(0) \end{eqnarray*}$ steht ja immer noch dort.

16.02.2013, 13:11

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

ok also nur $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

16.02.2013, 13:12

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die richtige Reihe.

16.02.2013, 13:16

Matze9999

Auf diesen Beitrag antworten »

was für eine Geburt....
Vielen Dank für deine Unterstützung smile

smile

16.02.2013, 13:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich habe hier schon viel schlimmeres erlebt Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »