Integralrechnung

14.02.2013, 14:00

Int7

Integralrechnung

Meine Frage:
Hallo ich habe eine frage zu einer Aufgabe:

Berechnen sie das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{sin^5 x}{cos^4x} \, dx \end{eqnarray*}$

Habt ihr Tipps wie ich das lösen kann?

Meine Ideen:
Keine

14.02.2013, 14:10

klarsoweit

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RE: Integralrechnung
Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{sin^5 x}{cos^4x} = \frac{sin^4 x}{cos^4x} \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$ , nutze sin²(x) = 1 - cos²(x) und substituiere dann u = cos(x) . smile

14.02.2013, 14:19

Int7

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Zuerst mal frage ich jetzt ob es soweit stimmt.

Integral (1-cos^2x)*(1-cos^2x)/ (cos^4x ) *sinx dx

Soll ich jetzt substituieren oder wie?

14.02.2013, 15:13

T.J

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Sieht so aus. Mit $\begin{eqnarray*} u=\cos(x), du=-\sin(x)dx \end{eqnarray*}$ lässt sich der Sinus schön wegkürzen und es bleibt zumindest schonmal ein Term ohne trigonometrische Funktionen stehen.

14.02.2013, 15:48

Int7

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-1* Integral (1-u^2)*(1-u^2) du

Wie gehe ich dann weiter vor?

14.02.2013, 16:04

klarsoweit

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Was ist denn aus dem cos^4(x) geworden?

14.02.2013, 16:21

Int7

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-1* Integral (1-u^2)*(1-u^2) /u^4 du

Jetzt müsste es stimmen oder?

Man o man wie gehe ich weiter vor?

14.02.2013, 16:33

T.J

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Stammfunktion finden...

Z.B. zunächst den Zähler (binom) ausmultiplizieren, Brüche aufteilen, kürzen... Hinterher könnte etwa $\begin{eqnarray*} u^{-4} - 2 u^{-2} + 1 \end{eqnarray*}$ da stehen, spätestens da sollte eine Lösung doch ersichtlich sein.

14.02.2013, 16:42

Int7

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Also bei mir das binom aufgelöst kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} -1*\int_a^b \! \frac{u^4 -2u^2 +1}{u^4} \, du \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht wie du auf die negativen exponenten kommst.

14.02.2013, 17:08

T.J

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Durch etwas Bruchrechnung und eine leichte Aversion gegen Bruchstriche Augenzwinkern

Letztlich natürlich Geschmackssache.

$\begin{eqnarray*} \frac{u^4 -2u^2 +1}{u^4} = \frac{u^4}{u^4} - \frac{2u^2}{u^4} + \frac{1}{u^4} = 1 - \frac{-2}{u^2} + \frac{1}{u^4} = 1 - 2u^{-2} + u^{-4} \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 17:12

Int7

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Aha und das soll ich jetzt einfach integrieren oder wie?

14.02.2013, 17:33

T.J.

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Naja, jetzt ist es eine mehr oder weniger schönes Polynom, zu dem man summandenweise eine Stammfunktion bilden und damit dann das Integral auflösen kann... Dachte das wäre bekannt
$\begin{eqnarray*} -\int_a^b 1-2u^{-2} + u^{-4} du = - \Bigg[ u + 2 u^{-1} - \frac{1}{3}u^{-3}\Bigg]_a^b \end{eqnarray*}$ oder mit Brüchen $\begin{eqnarray*} = - \Bigg[ u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^3}\Bigg]_a^b \end{eqnarray*}$

Grenzen einsetzen, soweit wie möglich vereinfachen, dann resubstituieren, wenn möglich wieder vereinfachen und fertig. Ergebnis wird wahrscheinlich allerdings nicht allzu schön, erwarte keine Wunder.

15.02.2013, 10:15

klarsoweit

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Zitat:

Original von Int7
Aha und das soll ich jetzt einfach integrieren oder wie?

Also wir sind hier im Hochschulbereich. Da werden gewisse Grundkenntnisse der Integralrechnung durchaus vorausgetzt. Lehrer

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