Momenterzeugende Funktion/Laplace Transformierte einer standardnormalverteilten Zufallsvariable

14.02.2013, 17:08	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Momenterzeugende Funktion/Laplace Transformierte einer standardnormalverteilten Zufallsvariable Meine Frage: Wie schon dem Titel zu entnehmen ist, möchte ich die momenterzeugende Funktion/Laplace-Transformierte einer standardnormalverteilten Zufallsvariable berechnen Meine Ideen: Die Dichtefunktion einer standardnormalverteilten Funktion ist ja: (ich wusste nicht wie man -infinity macht, aber das Integral geht natürlich von -unendlich bis + unendlich) $\begin{eqnarray} \int_\infty^\infty \! \frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{\frac{-y^{2}}{2} } \, dy \end{eqnarray}$ Aus den Eigenschaften der Dichtefunktion ergibt sich sofort, dass das Integral den Wert von $\begin{eqnarray} \sqrt{2\pi } \end{eqnarray}$ annehmen muss.. Die Laplace Transformierte ist damit: $\begin{eqnarray} \int_\infty^\infty \! \frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{ty}e^{\frac{-y^{2}}{2} } \, dy \end{eqnarray}$ Wenn ich nun die Konstante aus dem Integral ziehe und die e-Funktion zusammenfasse, erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\infty^\infty \! e^{\frac{2ty-y^{2}}{2} } \, dy \end{eqnarray}$ Was ich schon in früheren Beiträgen aus diversen Foren gelesen habe, muss ich jetzt irgendwie substituieren, damit ich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\infty^\infty \! e^{\frac{u^{2}}{2} } \, dy \end{eqnarray}$ bekomme, weil ich ja weiß, dass dies $\begin{eqnarray} \sqrt{2\pi } \end{eqnarray}$ ist... Aber was muss ich da substituieren? Ich sehe es irgendwie nicht..
14.02.2013, 18:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm im Exponenten eine quadratische Ergänzung vor, d.h. $\begin{eqnarray} 2ty-y^2 =t^2-t^2+2ty-y^2 = t^2-(y-t)^2 \end{eqnarray}$ Und dann springt die Substitution $\begin{eqnarray} u=y-t \end{eqnarray}$ geradezu ins Auge.
14.02.2013, 19:14	Matheneuling1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt, eigentlich offensichtlich... Vielen Dank!

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