Ist Pi^2 doch rational?

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Tuuhl Auf diesen Beitrag antworten »
Ist Pi^2 doch rational?
Ich habe mal einen Beweis gesehen der zeigte, dass irrational ist. Ich glaube mich aber auch zu erinnern, dass gilt:



wobei ja die Summanden alle rationale Zahlen sind. Ausserdem kann man zeigen, dass die Summe zweier rationaler Zahlen auch eine Rationale Zahl ist. Daraus wuerde dann aber folgen dass pi^2 rational ist. verwirrt
JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summanden sind zwar alle rational, aber es handelt sich hier um eine unendliche Summe.
Da die rationalen Zahlen nicht vollständig sind, gibt es Cauchyfolgen, die nicht in Q konvergieren.
Also kannst du mit Hilfe dieser Summe keine Aussagen machen, ob Pi^2 rational ist.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Pi^2 doch rational?
das ist aber keine gewöhnliche summe (bzw.: das ist einfach keine summe), sondern eben "nur" ein grenzwert.
rationalität von pi^2 würde auch direrkt der transzendenz von pi in IQ widersprechen.
lg
Tuuhl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist Pi^2 doch rational?
ja, mir ist schon klar, dass pi^2 irrational ist aber wo genau ist denn im Folgenden der Fehlschluss:

1. der erste Summand 6/1^2 ist eine rationale Zahl
2. das Addieren jedes weiteren Summanden fuehrt auch zu einer rationalen Zahl da 1 / i^2 + 1 / (i+1)^2 = [ (i+1)^2 + i^2 ] / [ i^2 * (i+1)^2 ]
3. die Summe kann daher niemals irrational werden, egal wieviele Summanden ich addiere
4. da die Summe gegen pi^2 konvergiert muss pi^2 rational sein
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

weisbrot hat doch schon gesagt, was daran falsch ist.

Übrigens: Nach deiner Argumentation wäre jede Zahl rational, auch Pi:

JdPL Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die rationalen Zahlen sind nicht vollständig.

Also ist es möglich, dass eine Folge rationaler Zahlen (hier die Partialsummen) gegen eine irrationale Zahl konvergieren.

Dein Fehler liegt in 3 . Grenzwertprozesse sind deutlich komplizierter als endliche Prozesse.
So gilt zum Beispiel, dass hier alle Partialsummen kleiner als der Grenzwert sind, aber der Grenzwert ist dennoch gleich dem Grenzwert.
 
 
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

@tuuhl:
"beliebig viel" ist etwas anderes als "unendlich viel"!!
natürlich ist die summe beliebig (endlich!) vieler rat. zahlen wieder rational. im unendlichen (was man nicht so sorglos mit seiner natürlichen vorstellung vermischen sollte) ist das, wie hieran erkennbar, etwas anderes!
lg
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Man nehme z.B. die Reihe



Alle Partialsummen sind offensichtlich < 2. Für den Reihenwert, also den Grenzwert der Partialsummen, das ist hier 2, gilt das aber nicht mehr...

Die Moral von der Geschichte: Aus der "Beschaffenheit" der Partialsummen kann man nicht so ohne weiteres auf Eigenschaften des Grenzwerts schließen...
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