einfache konvergenzen ausrechnen

14.02.2013, 20:05

voodoo

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einfache konvergenzen ausrechnen

hey!
also irgendwie mach ich immer nen fehler, wenn ich eine folge ausrechne und den grenzwert bestimmen soll...

wie rechne ich z.b. diese folge aus (n geht immer gegen unendlich):

$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2(-1)^n+4}{4n^2-3n} \end{eqnarray*}$

ich würde erstmal eine fallunterscheidung machen, je nachdem ob n gerade oder ungerade ist. wegen der (-1)^n
dann würde ich jeweils die n^2 rauskürzen..
jetzt hab ich ja unten im nenner noch ein n das gegen unendlich geht also wird der nenner unendlich groß und dadurch würde ich darauf schließen, dass die folge gegen 0 konvergiert, das tut sie aber nicht...
ich finde aber meinen denkfehler immer nicht, wenn ich solche folgen habe... irgendwas mache ich falsch, aber ich weiß nicht was...

14.02.2013, 20:07

aleos

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RE: einfache konvergenzen ausrechnen
Die Fallunterscheidung brauchst du denke ich nicht notwendigerweise.
Aber beim Ausklammern machst du anscheinend einen Fehler.

Zeig mal wie du n² bei der AUfgabe ausklammerst.

14.02.2013, 20:17

voodoo

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hmmm erlich gesagt gar nicht... Ups

Ups

ich kürze es einfach raus...
$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2(-1)^n+4}{4n^2-3n} = \frac{8 + 4}{4 - 3n} \end{eqnarray*}$
oder eben
$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2(-1)^n+4}{4n^2-3n} = \frac{-8 + 4}{4 - 3n} \end{eqnarray*}$

darf ich das nicht??
ich denke mal nicht aber ich hab keine ahnung wie das sonst gehen solll... Ups

Ups

14.02.2013, 20:29

aleos

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Dann helf ich dir mal smile

smile

Wenn du n² aus dem Zähler und aus dem Nenner ausklammern willst, muss du jeden Summanden durch n² teilen.
Das würde dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{8n²(-1)^n +4}{4n²-3n} = \frac{n²\cdot \left( \frac{8n²(-1)^n}{n²} + \frac{4}{n²}\right)} {n²\cdot \left( \frac{4n²}{n²} - \frac{3}{n²} \right) }<br /> \end{eqnarray*}$

Was glaubst du wie es jetzt weitergeht?

14.02.2013, 20:43

voodoo

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ja das leuchtet auch irgendwie ein... allerdings was bringt das genau??

soll ich da jetzt teilfolgen bilden??

14.02.2013, 20:45

aleos

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Ne, du hast doch jetzt n² im Zähler und im Nenner stehn, also Produkt wohlgemerkt.
Jetzt kannst du also n² im Zähler und Nenner kürzen.

Mach das und lass n ganz groß werden. Was passiert also?

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14.02.2013, 20:58

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2(-1)^n+4}{4n^2-3n}=\frac{n^2\left(\frac{8n^2(-1)^n}{n^2}+\frac{4}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{4n^2}{n^2}-\frac{3n}{n^2}\right)} = \frac{\frac{8n^2(-1)^n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2}-\frac{3n}{n^2}}=\frac{(8n^2(-1)^n+4)n^2}{(4n^2-3n)n^2} = ... \end{eqnarray*}$

wenn ich das weitermache lande ich wieder bei der ausgangsreihe :/
irgendwie denke ich voll falsch aber ich weiß nicht wo...

14.02.2013, 21:01

aleos

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Irgendwie hast du mich wohl nicht verstanden.

Einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray*} \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 5} \end{eqnarray*}$
Wie kannst du das jetzt noch darstellen?

14.02.2013, 21:07

voodoo

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es ist doch egal, ob ich schreibe:

$\begin{eqnarray*} \frac{2*3}{2*5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

denn können wir doch gleich die 2 rauskürzen, dass ist das gleiche...

14.02.2013, 21:14

aleos

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Richtig, es ist das gleiche.

Und das kannst du auch oben auf die Gleichung anwenden mit dem n².

Dann ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{8n²(-1)^n +4}{4n²-3n} = \frac{n²\cdot \left( \frac{8n²(-1)^n}{n²} + \frac{4}{n²}\right)} {n²\cdot \left( \frac{4n²}{n²} - \frac{3}{n²} \right) } = \frac{ \frac{8n²(-1)^n}{n²} + \frac{4}{n²}} { \frac{4n²}{n²} - \frac{3}{n²}} <br /> \end{eqnarray*}$

Und daraus lassen sich wieder eine n² kürzen.

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{8(-1)^n + \frac{4}{n²} } {4 - \frac{3}{n²}} \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{8(-1)^n + \frac{4}{n²} } {4 - \frac{3}{n²}} ...??? \end{eqnarray*}$

Jetzt darfst wieder du.

14.02.2013, 21:22

voodoo

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hmmm ok...
aber warum kann ich die n^2 dann nicht gleich am anfang rauskürzen??
warum geht das nicht??

14.02.2013, 21:25

aleos

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Kannst du, aber nicht sowie du das gemacht hast.
Du hast von manchen Summanden das n² ausgeklammert, von anderen wieder nicht und das ist falsch. Ganz oder gar nicht. Vergleich mal mein ausgeklammertes Ergebnis mit deinem. Dann wirst du das sehen.

14.02.2013, 21:37

voodoo

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ok also muss ich das immer erst erweitern??

nochmal eine folge:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^2(-1)^n+6}{n-4n^2(-1)^n}=\frac{n^2\left(\frac{2n^2(-1)^n}{n^2}+\frac{6}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{n}{n^2}-{4n^2(-1)^n}{n^2}\right)}=\frac{2(-1)^n+\frac{6}{n^2}}{\frac{1}{n}-4(-1)^n}= \frac{2(-1)^n}{-4(-1)^n}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

richtig??? lim n->infinity gehört natürlich jeweils davor...

14.02.2013, 21:41

aleos

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Bevor wir was neues anfangen, lass uns doch die alte Folge fertig machen.
Was ist denn jetzt der Grenzwert? Oder gibt es überhaupt einen?

14.02.2013, 21:46

voodoo

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aso...

würde ich jetzt jeweils teilfolgen bilden...

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8(-1)^n+\frac{4}{n^2}}{4-\frac{3n}{n^2}} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{8(-1)^n+0}{4-0} \end{eqnarray*}$

und da der zähler jetzt alterniert ist die folge divergent...

14.02.2013, 21:57

aleos

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Naja, nur weil der Zähler jetzt alterniert, heißt das noch lange nicht, dass die Folge divergiert.
Der Grenzwert liegt halt mal bei -2 und mal bei +2, je nachdem.

Ich hoffe du erkennst, dass du 8/4 = 2 ist. Und dann noch deine alterierende 1 zwischen + und -

Jetzt zu deiner 2. Folge:

Ja, der Grenzwert dürfte stimmen.

14.02.2013, 22:15

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das

Zitat:

Original von voodoo
$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2(-1)^n+4}{4n^2-3n} = \frac{8 + 4}{4 - 3n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2(-1)^n+4}{4n^2-3n} = \frac{-8 + 4}{4 - 3n} \end{eqnarray*}$

ist übrigens grottenfalsch und sollte nicht unkommentiert bleiben geschockt

geschockt

14.02.2013, 22:20

voodoo

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ja eben es ist mal -2 und mal 2
das ist doch gerade die definition von divergenz oder nicht???

14.02.2013, 22:21

experte

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Zitat:

Original von aleos
Naja, nur weil der Zähler jetzt alterniert, heißt das noch lange nicht, dass die Folge divergiert.
Der Grenzwert liegt halt mal bei -2 und mal bei +2, je nachdem.

Doch genau das heißt es. Eine konvergente Folge hat genau einen Grenzwert.
(Außer der betrachtete Raum ist nicht-hausdorffsch, das ist hier nicht der fall.)

14.02.2013, 22:24

URL

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Nein, das heißt es nicht, wie $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ zeigt.
Der Zähler alterniert, die Folge konvergiert.

14.02.2013, 22:40

voodoo

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ja aber jetzt bezogen auf diese folge divergiert das...
sorry das ich mich nicht klar ausgedrückt hatte... :/

14.02.2013, 22:45

URL

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wenn dir klar ist, dass es auf die konkrete Folge ankommt, habe ich überhaupt nichts gesagt smile

smile

Wollte nur vermeiden, dass da eine falsche Pauschalaussage hängen bleibt.

Aber über die Kürzerei von vorhin solltest du ernsthaft nochmal nachdenken

15.02.2013, 10:53

aleos

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@experte, URL

Danke für die Korrektur.
Bei den genannten Werten von mir handelt es sich mehr um Häufungspunkte. Das ist mir aber erst später eingefallen.

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