Konvergenzradius einer Potenzreihe

18.02.2007, 17:16

Wurz

Konvergenzradius einer Potenzreihe

hi

ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter!

vielleicht könnt ihr mir helfen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{3^{n+2}}{\sqrt[3]{n}}*(x-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Der konvergenzRadius berechnet sich ja dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \mid\frac{an}{an+1}\mid = \frac{\frac{3^{n+2}}{\sqrt[3]{n}}}{\frac{3^{n+3}}{\sqrt[3]{n+1}}}{} = \frac{\sqrt[3]{n+1} }{3*\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht, wie kann ich jetzt die Wurzel wegbekommen oder wie mache ich weiter?????

würde mich über Hilfe sehr freuen, ist bestimmt einfach aber ichs sehs nicht...

Gruß Wink

Wurz

18.02.2007, 17:21

kiste

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{n+1} }{3*\sqrt[3]{n}} = \frac{\sqrt[3]{n+1}\cdot \frac{1}{n^3}}{3*\sqrt[3]{n}\cdot \frac{1}{n^3}} \end{eqnarray*}$

Damit kannst du weiterrechnen smile

18.02.2007, 17:59

Wurz

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ich komme immer noch nicht drauf!! unglücklich

kleine nebenrechnung : im nenner steht dann bei mir nach deinem Tipp:

$\begin{eqnarray*} \frac{3*\sqrt[3]{n} }{n^{3} } = 3* n^{\frac{1}{3} }*n^{-3} = 3*n^{-\frac{8}{3} } = \frac{3}{\sqrt[3]{n^{8} } } \end{eqnarray*}$

das sieht doch noch übler aus!!

18.02.2007, 18:25

kiste

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Joar mein tipp hat auch nicht viel gebracht. Steh wohl heute etwas neben der Kappe.

Wie wärs mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$ zum Erweitern? Augenzwinkern

Damit sollte es funktionieren.

18.02.2007, 18:34

Wurz

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ok nenner steht dann 3 und wie verrechne ich den Zähler???????

18.02.2007, 18:59

kiste

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Mit der Regel: $\begin{eqnarray*} a^n\cdot b^n = (ab)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{n+1}}{\sqrt[3]{n}} = \sqrt[3]{\frac{n+1}{n}} \end{eqnarray*}$

18.02.2007, 19:05

Wurz

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aaaaaaaaahh Big Laugh

ich frags jetzt noch zur sicherheit: es kommt also 1/3 raus?! Lehrer

DANKE

18.02.2007, 19:08

kiste

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Ja das stimmt Freude

23.03.2007, 19:38

pflaume

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Ich übe z.Zt. für eine Ana Klausur. U.a. wollte ich diese Aufgabe hier nochmals nachrechnen und wissen, was der Konvergenzradius nun ist (Also wie er berechnet wird). Wiki konnte mir das nich genau erklären.

$\begin{eqnarray*} \sqrt [3] {\frac {n+1}{n}} * \frac {1}{3} \end{eqnarray*}$

An der Stelle häng ich. da ich nun $\begin{eqnarray*} lim \frac {a_n}{a_n+1} \end{eqnarray*}$ berechnen soll. Aber wie soll ich das hier abschätzen ?

Was mach ich falsch ?

23.03.2007, 20:39

ich bin smile

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Hilft dir vielleicht das:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n+1}{n}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

24.03.2007, 00:05

pflaume

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Zitat:

Original von ich bin smile
Hilft dir vielleicht das:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n+1}{n}}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot\sqrt[3]{1+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

Stimmt. Nu komm ich auf $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Nur noch eine Frage: Ist der Konvergenzradius nun automatisch $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ ? Muss man noch was beachten ? Oder ist das Ergebnis des Limes immer automatisch der Konvergenzradius ?

Wäre super, wenn du mir da noch helfen könntest.

Danke,
pflaume

24.03.2007, 09:54

ich bin smile

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Zitat:

Oder ist das Ergebnis des Limes immer automatisch der Konvergenzradius ?

Nein, wie du schon sagtest musst du noch etwas beachten!

Undzwar die Grenzen, sowohl die positive als auch die negative!

Diese musst du noch getrennt betrachten, also einsetzten, da die Konvergenzkriterien über diese wenig aussagen.

24.03.2007, 13:53

pflaume

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RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{3^{n+2}}{\sqrt[3]{n}}*(x-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Der konvergenzRadius berechnet sich ja dann so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \mid\frac{an}{an+1}\mid = \frac{\frac{3^{n+2}}{\sqrt[3]{n}}}{\frac{3^{n+3}}{\sqrt[3]{n+1}}}{} = \frac{\sqrt[3]{n+1} }{3*\sqrt[3]{n}} \end{eqnarray*}$

okay, nur wie mach ich das nun genau ? Klar, es mss ja der Betrag sein, wie es oben schon steht, nur was dann ?

Ist dann $\begin{eqnarray*} \sum {\frac{3^{n+2}}{\sqrt[3]{n}} x^n = +-\frac {1}{3}}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum {\frac {3^{n+2}}{\sqrt[3]{n}} * +-\frac {1}{3}} = r \end{eqnarray*}$ ?

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