Integral

14.02.2013, 21:32

Lukas12345

Integral

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein problem beim lösen eines Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{75}{t²-7t+21} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
.

14.02.2013, 21:44

aleos

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RE: Integral
Ich hab zwar noch keine Idee für das Integral, aber nach Schulmatehmatik sieht das nicht aus :o

Sicher, dass du dich nicht verschrieben hast?! Ausgenommen, dass du statt dt dx da stehen hast.

14.02.2013, 21:47

Lukas12345

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also natürlich mein ich dt smile

ne hab ich mich nicht, meine Schwester hat die Aufgabe von ihrer Mathelehrerin bekommen, um sich auf das Abitur vorzubereiten.

14.02.2013, 21:48

Equester

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Das ist durchaus lösbar Augenzwinkern

. Aber in der Tat keine Schönheit.

Das riecht stark nach arctan. Ich würde also versuchen auf die Form zu kommen.
Mehrfach quadratisch Ergänzen Augenzwinkern

14.02.2013, 21:57

Lukas12345

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auf die arctan Term komme ich aber nicht beim umformen... und das ist ja dann auch keine Schulmathematik mehr....

14.02.2013, 22:11

Equester

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Ob das Schulmathematik ist oder nicht, kann ich nicht beurteilen. Ist schon ne Weile her.
Aber ich habs durchgerechnet. arctan spielt hier eine gewichtige Rolle Augenzwinkern

.

Das erste Zwischenziel ist es den Term auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x²} \end{eqnarray*}$ zu bringen Augenzwinkern

14.02.2013, 22:12

Mulder

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Zitat:

Original von Equester
Mehrfach quadratisch Ergänzen .

Wie, mehrfach? verwirrt

Also ich wüsste nicht, wieso das keine Schulmathematik sein kann. Was ist denn so schrecklich an dem Integral? Quadratische Ergänzung kann man ja wohl verlangen beim Abitur. Das lernt man in der Unterstufe. Und nachdem das getan ist, landet man mit einer linearen Substitution (ebenfalls kein Hexenwerk) bei einem Grundintegral, wie Equester schon angedeutet hat. Das steht in jeder Formelsammlung drin.

14.02.2013, 22:13

Equester

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Equester
Mehrfach quadratisch Ergänzen .

Wie, mehrfach? verwirrt

Das war abschätzend. Einmal reicht und dann geschickt ausklammern Augenzwinkern

14.02.2013, 22:30

Lukas12345

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dann hab ich da ja $\begin{eqnarray*} 75 \int \! \frac{1}{(t-3,5)²+8,75} \, dx \end{eqnarray*}$

aber dann stört mich ja noch die 8,75 die ich zu einer 1 machen müsste, aber wie?

14.02.2013, 22:33

Equester

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Klammere im Nenner 8,75 aus Augenzwinkern

14.02.2013, 22:52

Lukas12345

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Stimmt das dann?

$\begin{eqnarray*} 75 \int \! \frac{1}{8,75((t-3,5)²+1)} \, dx = \frac{75}{8,75} arctan(t-3,5) \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 22:55

Equester

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Du hast im Nenner falsch ausgeklammert. Du hast beim Ausklammern nur den hinteren Summanden berücksichtigt.

P.S.: Bei unbestimmten Integralen brauchen wir ein +c Augenzwinkern

14.02.2013, 23:02

Lukas12345

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also so?
$\begin{eqnarray*} 75 \int \! \frac{1}{8,75((\frac{t-3,5}{8,75})²+1)} \, dx = \frac{75}{8,75} arctan(\frac{t-3,5}{8,75}) + C \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 23:06

Equester

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Warum quadrierst du die 8,75? Einfach ausklammern! Erst danach kümmere dich darum, dass der Faktor mit einer Potenz versehen wird.

14.02.2013, 23:12

Lukas12345

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.... so?

$\begin{eqnarray*} 75 \int \! \frac{1}{8,75(\frac{(t-3,5)²}{8,75}+1)} \, dx =75 \int \! \frac{1}{8,75((\frac{(t-3,5)}{\sqrt{8,75} })²+1)} \, dx = \frac{75}{8,75} arctan(\frac{t-3,5}{\sqrt{8,75}}) + C \end{eqnarray*}$

14.02.2013, 23:18

Equester

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Die Sache wird immer wärmer^^.
Wir haben jetzt allerdings nicht die Form

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$ , sondern die Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ax^2+1} \end{eqnarray*}$

Du solltest also nochmals substituieren um das Problem zu beheben Augenzwinkern

14.02.2013, 23:24

Mulder

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Finde nur ich diese Dezimalzahlen an dieser Stelle scheußlich? Augenzwinkern

Also statt mit $\begin{eqnarray*} 8,75 \end{eqnarray*}$ würde ich lieber mit $\begin{eqnarray*} \frac{35}{4} \end{eqnarray*}$ arbeiten. Zum Beispiel hat man dann in der Klammer einfach $\begin{eqnarray*} \frac{2t-7}{\sqrt{35}} \end{eqnarray*}$ stehen. Mag Geschmackssache sein, aber ich finde das angenehmer. Man sieht dann auch viel eher mal, ob man irgendwo mal was kürzen kann.

(das war dann jetzt auch das letzte Mal, dass ich hier reinpfusche, Equester Augenzwinkern

)

15.02.2013, 00:16

Lukas12345

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so dann versuch ichs mal wieder, mit den anmerkungen von mulder.

$\begin{eqnarray*} 75 \int \! \frac{1}{8,75(\frac{(t-3,5)²}{8,75}+1)} \, dx =75 \int \! \frac{1}{8,75((\frac{2t-7}{\sqrt{35} })²+1)} \, dx = \frac{35}{4} \int \!\frac{1}{1+y²} \, dy \frac{\sqrt{35} }{2} = \frac{35}{4}\frac{\sqrt{35} }{2}arctan(y) <br /> \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} y=\frac{2t-7}{\sqrt{35} }<br /> \frac{dx}{dy} =\frac{2}{\sqrt{35} } \Rightarrow dx= dy \frac{\sqrt{35} }{2}<br /> \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 00:20

Lukas12345

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ich meine natürlich in der letzten Zeile
dy/dx

15.02.2013, 00:25

Equester

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Ein kleiner Flüchtigkeitsfehler:

$\begin{eqnarray*} \frac{75}{8,75}=\frac{60}{7}\neq\frac{35}{4} \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} ...= \frac{60}{7}\frac{\sqrt{35} }{2}arctan(y)+c \end{eqnarray*}$

Dann passts. Das noch sauber aufgeschrieben und ihr habt euere Endlösung Augenzwinkern

.

@Mulder: Ich bin da sehr anpassungsfähig Augenzwinkern

15.02.2013, 00:28

Lukas12345

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da sind rechnerisch schon wieder fehler drin, aber ist es denn schematisch mit der substitution richtig gemacht?

15.02.2013, 00:30

Lukas12345

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ja, ist mir auch gerade aufgefallen Big Laugh

vielen vielen Dank für eure Hilfe und die Geduld mit mir Augenzwinkern

15.02.2013, 00:33

Equester