Stetigkeit von x^n

14.02.2013, 23:14

kai.k.r

Stetigkeit von x^n

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ direkt mit der $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ - Definition der Stetigkeit beweisen.

Meine Ideen:
Mein Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .
Wähle $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so, dass
$\begin{eqnarray*} \epsilon = \delta*((|a|+\delta)^{n-1}+(|a|+\delta)^{n-2})|a|+...+(|a|+\delta)|a|^{n-2}+|a|^{n-1}) \end{eqnarray*}$ .
Auf der rechten Seite steht ein normiertes Polynom in $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ vom Grad n mit Nullstelle $\begin{eqnarray*} \delta = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass so eine Wahl von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ möglich ist.
Sei also $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so gewählt. Dann gilt
$\begin{eqnarray*} |x^n-a^n|=|x-a||x^{n-1}+x^{n-2}a+...+xa^{n-2}+a^{n-1}|<br /> <\delta*((|a|+\delta)^{n-1}+(|a|+\delta)^{n-2})|a|+...+(|a|+\delta)|a|^{n-2}+|a|^{n-1})=\epsilon \end{eqnarray*}$

Meine Frage:
Stimmt das so?

Gruß, kai

15.02.2013, 00:49

gelangweilter

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Hallo,

-du begehst hier zum Einen einen Zirkelschluss;
Für den Zwichenwertsatz verwendest du die Stetigkeit von Polynomen um zu zeigen, dass ein spezielles Polynom (ein Monom) stetig ist.
-Es ist a priori nicht sichergestellt, dass $\begin{eqnarray*} \delta >0 \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} |x-a|< \delta \notRightarrow |x|<|a|+\delta \end{eqnarray*}$
Gegenspiel: delta=1, x=1, a=0;

Zitat:

ich möchte die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ direkt mit der $\begin{eqnarray*} \epsilon - \delta \end{eqnarray*}$ - Definition der Stetigkeit beweisen.

Ist das eine Übungsaufgabe die du dir selbst gestellt hast?
Dann würde ich davon Abstand nehmen.
Mir ist kein auch nur annähernd als schön zu bezeichnender in dieser Form bekannt.

15.02.2013, 08:02

qwert-Taste

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Du könntest x so erweitern, dass du den binomischen Lehrsatz anwenden kannst.

15.02.2013, 09:35

Jello Biafra

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Eigentlich bietet es sich hier an induktiv zu folgern wobei im wesentlichen nur zu investieren ist, dass das Produkt stetiger Funktionen stetig ist.

Für die Vorgehensweise über die Epsilon-Delta-Def. wirst Du wohl mittels folgender Identität

$\begin{eqnarray*} \frac{x^n-a^n}{x-a}=\sum_{k=0}^{n-1}x^{(n-1)-k}a^k, \end{eqnarray*}$

die Dir offensichtlich bekannt ist, in geeigneter Weise abschätzen müssen.

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