Funktionsscharen 3

15.02.2013, 00:22

rechner

Funktionsscharen 3

Meine Frage:
Hallo!

Gegeben ist die Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_{k}(x)=x-k\cdot e^{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb R ^{+} \end{eqnarray*}$ .

a) Untersuchen sie das Verhalten der Funktion für $\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty \end{eqnarray*}$ .

b) Zeigen Sie, dass 2 Funktionen der Schar mit unterschiedlichen Werten von k sich nicht schneiden.

c)Zeigen sie, dass fk für alle k größer 0 genau einen Hochpunkt hat und dass fk für k kleiner 0 keine Extremstellen besitzt.

d) Die y-Achse, der Graph der Funktion g mit g(x)=x, der Graph von fk und die gerade mit der Gleichung x=a mit a kleiner 0 schließen eine Fläche ein. Geben Sie den Inhalt der Fläche in Abhängigkeit von aund k an.

Meine Ideen:
a)

Reicht es, wenn ich in der Klausur das so schreiben würde:

$\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty = undef x \to \pm \infty = -\infty \end{eqnarray*}$

b)
--> ich bin mir nicht sicher, obs stimmt...

$\begin{eqnarray*} x-k\cdot e^{x}=x-h\cdot e^{x} x-k\cdot e^{x}+h\cdot e^{x}=x -k\cdot e^{x}+h\cdot e^{x}=0 e^{x}(-k+h)=0 -h+k=0 k=h \end{eqnarray*}$

für d) habe ich

$\begin{eqnarray*} A=e^{a}\cdot k-k \end{eqnarray*}$

-->Sind meine Ergebnisse richtig?

15.02.2013, 01:01

Bjoern1982

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Zitat:

a)

Reicht es, wenn ich in der Klausur das so schreiben würde:

$\begin{eqnarray*} x \to \pm \infty = undef x \to \pm \infty = -\infty \end{eqnarray*}$

Nein, denn zum einen ist das auch falsch bzw unzureichend und ohne Begründung wüsste ich nicht wofür man da überhaupt Punkte geben sollte. verwirrt

zu b) ok, aber Schlussfolgerung fehlt

zu d) nicht ganz, denn für a<0 würde somit immer etwas Negatives für A rauskommen

15.02.2013, 01:20

rechner

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Zitat:

Nein, denn zum einen ist das auch falsch bzw unzureichend und ohne Begründung wüsste ich nicht wofür man da überhaupt Punkte geben sollte.

Hmm..wie muss ich das dann machen? verwirrt

Zitat:

zu b) ok, aber Schlussfolgerung fehlt

Schlussfolgerung? ich hatte sogar angenommen, dass es falsch ist

h=k ist wirklich der beweis dafür, dass sich dieFunktionen dann nicht schneiden?

Wie müsste es denn eigentlich aussehen, wenn sich 2 Funktionen fk(x) mit unterschiedlichen werten für k schneiden würden?

vlt. z.B.:

h+k=x

Zitat:

zu d) nicht ganz, denn für a<0 würde somit immer etwas Negatives für A rauskommen

Wie muss ich das denn berechnen?

Ich habs so berechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_a^0 \! f_{k}(x) \, dx-\int_a^0 \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 01:33

Bjoern1982

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Zitat:

Hmm..wie muss ich das dann machen?

Indem du zeigst, gegen was die jeweiligen Bestandteile der Funktionsschar für x gegen + bzw - unendlich streben.
Für x gegen + unendlich hilft z.B. das Ausklammern von e^x.

Zitat:

h=k ist wirklich der beweis dafür, dass sich dieFunktionen dann nicht schneiden?

Ja, aber warum das so ist, das ist ja das Entscheidende.
Und deine Verwunderung lässt auch vermuten, dass du gar nicht weisst, was du da tust. Augenzwinkern

Du hast jetzt h=k als einzige Lösung der Gleichung fk=fh erhalten.
Laut Voraussetzung sind die Parameter h und k aber was ?

zu d)

Ich sagte ja, dass es fast richtig ist und auch woran es lediglich liegt.
Entscheidend ist ja welcher der beiden Graphen oberhalb liegt...

15.02.2013, 01:53

rechner

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Zitat:

Indem du zeigst, gegen was die jeweiligen Bestandteile der Funktionsschar für x gegen + bzw - unendlich streben. Für x gegen + unendlich hilft z.B. das Ausklammern von e^x.

Das ist schon einbischen lange her, dass ich das gemacht habe, aber ich probiers mal:

$\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$

der entscheidende teil ist der e-teil, wenn man nun eine große Zahl für x einstzen würde, würde der Teil k*e^x sehr groß werden, da man den teil von x abzieht, muss es gegen minus unendliche laufen.

$\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$

x wird unendlich klein, der teil k*e^x wird noch kleiner, fast null, deswegen läuft x gegen minus unendlich.

Zitat:

Entscheidend ist ja welcher der beiden Graphen oberhalb liegt...

die funktion g(x) lag weiteroberhalb, und f weiter unterhalb, aber da die zu berechnende fläche unterhalb der x-Achse ist, hab ich f-g gerechnt...

15.02.2013, 08:42

Bjoern1982

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Der Teil zum Verhalten im Unendlichen hört sich nun soweit gut an. Freude

Zitat:

aber da die zu berechnende fläche unterhalb der x-Achse ist, hab ich f-g gerechnt.

Dass dieses Argument bei einer Fläche zwischen zwei Graphen nicht gilt, macht ja meine Bemerkung im ersten Beitrag deutlich.

Wie sieht es nun mit b) und c) aus ?

20.02.2013, 00:47

rechner

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Nach einer langen Pause...

also b) lasse ich einfach so sein, wenn k=h sind, dann schneiden die sich nicht.

Angenommen sie würden sich iwie schneiden, dann würde es z.b. so aussehen: k+h=2, aber in meinen alten unterlagen habe ich nichts anderes dazu gefunden...also bin ich mir bei dem punkt immer noch unsicher...

zu c):

habe ich komlett mit dem TR gelöst und bekommen

$\begin{eqnarray*} HP(ln \frac{1}{l} / ln \frac{1}{k}-1) \end{eqnarray*}$

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