Unterraum und Zeichen

15.02.2013, 10:03

I am Gerd the Nerd

Unterraum und Zeichen

Meine Frage:
Moin. Ich kann mir nicht ganz bildlich vorstellen was ein Untervektorraum ist. Ein Vektorraum ist ja irgendein Raum versehen mit Addition und Multiplikation ? Und ein Untervektorraum ist jetzt ein Teil des Vektorraumes ? Quasi eine Teilmenge ? Ich weiß außerdem nicht was das Zeichen bedeutet $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ? Das hier ist die Teilmenge $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ ist mir klar.

Falls mir Hilfe anbietet würde ich diese dankend annehmen.

Meine Ideen:
Arbeite mit dem Skript und daher kommt die Frage.

15.02.2013, 10:11

Iorek

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Eine bildliche Vorstellung von (Unter-)Vektorräumen gibt es in den meisten Fällen nicht. Den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ kann man (als Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aufgefasst) mit der reellen Ebene oder dem aus der Schule bekannten dreidimensionalen Anschauungsraum identifizieren, was ist aber mit dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ? Oder dem Vektorraum der Polynome? Wie soll der Vektor $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aussehen?

Ein Untervektorraum $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ ist eine Teilmenge des gegebenen K-Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ , die unter den gegebenen Verknüpfungen selbst wieder ein K-Vektorraum ist. Eine andere Bezeichnung wäre die des Teilraums, die deiner anschaulichen Vorstellung (sofern diese möglich ist) näher kommen dürfte.

Die Zeichen $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ stehen beide für Teilmenge und werden zum Teil synonym verwendet. Bei $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ist aber auch noch die Gleichheit möglich (ähnlich wie $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ), bei $\begin{eqnarray*} \subset \end{eqnarray*}$ ist das von Autor zu Autor verschieden.

15.02.2013, 10:35

I am Gerd the Nerd

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Okay danke. Jetzt habe ich im Skript stehen gegeben ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und eine Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , die m Vektoren enthält

$\begin{eqnarray*} S\equiv \lbrace v_1 \cdots v_m \rbrace \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v_i \in V \end{eqnarray*}$

dann ist der Spann von von S die Menge aller Linearkombinationen der Elemente von S:

$\begin{eqnarray*} span(S)\equiv \lbrace a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots a_ m v_m | a_{1 \cdots m} \in \mathbb F \rbrace. \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \mathbb F=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist doch das gleiche ?

Jetzt steht da: Die Menge ist ein Vektorraum an sich.

Wenn $\begin{eqnarray*} u, w \in span(S) \end{eqnarray*}$ dann haben wir Linearkombinationen $\begin{eqnarray*} a u + b w \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb F \end{eqnarray*}$

Und damit können wir sagen, dass $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ eingebettet in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} W \subseteq V \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von[ latex]V[/latex] ist.

Eigentlich sind mir die einzelnen Sachen klar, nur als ganzes verstehe ich das nicht., wieso das so zusammenhängt.

15.02.2013, 11:09

I am Gerd the Nerd

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Z.b verstehe ich auch nicht wieso $\begin{eqnarray*} W \subseteq V \end{eqnarray*}$ sein muss und nicht ausreicht dass $\begin{eqnarray*} W \subset V \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 13:53

RavenOnJ

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Zitat:

Original von I am Gerd the Nerd
Z.b verstehe ich auch nicht wieso $\begin{eqnarray*} W \subseteq V \end{eqnarray*}$ sein muss und nicht ausreicht dass $\begin{eqnarray*} W \subset V \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{align*} V \end{align*}$ die Dimension $\begin{align*} m \end{align*}$ hat und man wählt $\begin{align*} m \end{align*}$ Vektoren aus $\begin{align*} V \end{align*}$ aus, dann können diese linear unabhängig sein und dann wäre $\begin{align*} W := \operatorname{span}(S) = V \end{align*}$ . Deswegen muss man $\begin{align*} W\subseteq V \end{align*}$ schreiben. Ist die Dimension von $\begin{align*} V \end{align*}$ größer als $\begin{align*} m \end{align*}$ oder die $\begin{align*} m \end{align*}$ Vektoren sind nicht linear unabhängig mit $\begin{align*} \dim(\operatorname{span}(S)) < \dim(V) \end{align*}$ , dann würde $\begin{align*} W\subset V \end{align*}$ reichen, da dann $\begin{align*} W \end{align*}$ auf alle Fälle ein echter Unterraum von $\begin{align*} V \end{align*}$ sein muss.

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