Doppelbruch mit unterschiedlichen Nennern

15.02.2013, 12:38

Rabauke95

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Doppelbruch mit unterschiedlichen Nennern

Meine Frage:
Und schon wieder ich smile

smile

ich will Euch nicht auf die nerven gehen aber hier ist noch so eine verwirrende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-1 } }{x-\frac{2}{x+1} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} = \frac{\frac{x^{2}-1 }{(x-1)(x^{2}-1) }+\frac{x-1}{(x-1)(x^{2}-1) } }{\frac{x(x+1)}{x+1}-\frac{2}{x+1} }<br /> = \frac{\frac{x^{2}-1+x-1 }{x^{3}-x-x^{2}+1 } }{\frac{x^{2}+x-2 }{x+1} }<br /> =\frac{x^{2}-1+x-1 }{x^{3}-x-x^{2}+1 }*\frac{x+1}{x^{2}+x-2 } <br /> =\frac{x^{3}+2x^{2}-x-2 }{x^{5}-4x^{3}+2x^{2}+3x-2 } \end{eqnarray*}$

Ja und hier stecke ich nun fest? smile

smile

15.02.2013, 12:50

sulo

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RE: Doppelbruch mit unterschiedlichen Nennern
Du hast den Hauptnenner zu kompliziert gewählt.

Fang noch mal ganz oben an und denke an die 3. binom. Formel.

smile

smile

15.02.2013, 12:51

Equester

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Es ist bei einer solchen Aufgabe sinnvoller alles als Faktoren stehen zu lassen, da man ja nur Faktoren kürzen kann.
Dein Ausmultiplizieren war hier also eher kontraproduktiv.

Da du schon recht zu Beginn ausmultipliziert hast, würd ich sagen, dass wir nochmals von vorne anfangen.
Es ist nämlich möglich einen Tick einfach an die Sache ranzugehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2}-1 } }{x-\frac{2}{x+1} } \end{eqnarray*}$

Zweiter Nenner im Zähler -> binomische Formel.
Wir hätten dann einen kleineren gemeinsamen Nenner Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Edit: Morgen sulo. Der Deine Wink

Wink

.

15.02.2013, 12:56

Rabauke95

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Hi ihr Beiden,

meint ihr so?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{(x+1)(x-1)} }{\frac{x(x^{2-1)} }{(x+1)(x-1)} -\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}} \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 12:58

Rabauke95

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Im unteren, ersten Zähler soll natürlich $\begin{eqnarray*} x(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$ stehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2013, 13:01

sulo

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Im Prinzip ja, aber ich hätte im Nenner auf die komplette Erweiterung auf den HN des Zählers verzichtet.

Dies ist nicht notwendig, weil wir beim Dividieren (bzw. Multiplizieren) keine Nennergleichheit brauchen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}+\frac{1}{(x+1)(x-1)} }{\frac{x(x+1) }{(x+1)} -\frac{2}{(x+1)}} \end{eqnarray*}$

smile

smile

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15.02.2013, 13:03

Rabauke95

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= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x+1+1}{x^{2}-1 } }{\frac{x^{3}-x-2x+2}{x^{2}-1} } <br /> = \frac{\frac{x+2}{x^{2}-1} }{\frac{x^{3}-3x+2 }{x^{2}-1} } \end{eqnarray*}$

Nur was jetzt?

15.02.2013, 13:08

sulo

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Gut, wenn du unbedingt willst, kannst du es auch so machen.

Jetzt wird durch den Nenner dividiert, also mit dem Kehrbruch multipliziert.

smile

smile

15.02.2013, 13:09

Rabauke95

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Ok, dein Weg ist natürlich noch einfacher smile

smile

aber wenn ich von da weitermache komme ich nur bis hier

$\begin{eqnarray*} = \frac{x+2}{x^{2}-1 }*\frac{x+1}{x^{2}+x-2 } <br /> = \frac{x^{2}+3x+2 }{x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+2 } <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 13:14

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du beide Wege gemischt, das ist nicht so gut. Auf meinem Weg hätte man nicht alles ausmultiplizieren sollen sondern erst einmal etwas kürzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider wartest du nie meine Antwort ab, sondern arbeitest schon vorher an deiner Antwort, die du sofort nach meiner Antwort postest, ohne sie gelesen oder durchdacht zu haben.

Also bleibe bei deinem Weg und mache das, was ich in dem Beitrag zuvor geschrieben habe:

Zitat:

Jetzt wird durch den Nenner dividiert, also mit dem Kehrbruch multipliziert.

15.02.2013, 13:20

Rabauke95

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Alles klar Chefin Augenzwinkern

Augenzwinkern

sorry

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x^{2}-1 }*\frac{x^{2}-1 }{x^{3}-3x+2 } <br /> = \frac{x^{3} +2x^{2} -x-2}{x^{5} -4x^{3} +2x^{2} +3x-2} \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 13:22

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kürzst du nicht vor dem Ausmultiplizieren? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x^{2}-1 }*\frac{x^{2}-1 }{x^{3}-3x+2 } = \frac{(x+2)*(x^{2}-1 )}{(x^{2}-1)*(x^{3}-3x+2) } \end{eqnarray*}$

Na.... smile

smile

15.02.2013, 13:28

Rabauke95

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Das kürzen muss ich mir unbedingt noch angewöhnen smile

smile

bei den einfacheren Aufagebn hat das kürzen des Ergebnisses immer gereicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mit kürzen kommen wir auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x^{3}-3x+2 } \end{eqnarray*}$

Was aber nicht das Endergebnis sein kann. Ich sehe aber auch keine Möglichkeit weiter zu kürzen oder auszuklammern?

15.02.2013, 13:30

sulo

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Nein, da kann man nichts mehr sinnvoll machen.

Warum kann das nicht das Endergebnis sein? verwirrt

verwirrt

15.02.2013, 13:32

Rabauke95

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Die Musterlösung weicht ab unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 13:39

sulo

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Dann hast du einen Fehler in der Aufgabenstellung gemacht oder die Musterlösung ist falsch.

Ich habe gerade noch mal alles durchgerechnet, unsere Lösung stimmt.

verwirrt

verwirrt

edit: Nein, die Musterlösung stimmt, man kann in der Tat noch (x+2) kürzen.
Das hat mir sogar der Polynomdivisionsrechner nicht verraten... unglücklich

unglücklich

15.02.2013, 13:40

Equester

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Eure Lösung stimmt zwar, kann aber weiter vereinfacht werden.

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x^{3}-3x+2 }=\frac{x+2}{(x-1)²(x+2)} \end{eqnarray*}$

Deswegen sollte man auch immer - wie von sulo vorgeschlagen - mit dem Hauptnenner rechnen. Dann hätte sich keine dritte Potenz ergeben.

Wink

Wink

15.02.2013, 13:42

Rabauke95

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Ich ahbe gerde noch mit einem Kollegen gesprochen, der meinte wir sind richtig nur halt nicht fertig...

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x^{3}-3x+2 } = \frac{x+2}{(x+2)(x^{2}-2x+1) } \end{eqnarray*}$

Wobei ich den Schritt nicht nachvollziehen kann und er gerade auch keine Zeit hatte mir das zu erklären unglücklich

unglücklich

Edit Equester: Latex korrigiert.

15.02.2013, 13:43

sulo

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Danke, Equester. Vielleicht übernimmst du ab hier? Ich muss nämlich weg. Wink

Wink

15.02.2013, 13:45

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich gerne machen. Bis später Wink

Wink

.

@Rabauke95: Dass x³-3x+2=(x-1)²(x+2)=(x²-2x+1)(x+2) ist, hast du am Anfang schon "gezeigt".
Da hattest du es nämlich genauso stehen und hattest ausmultipliziert (also von rechts nach links gerechnet) Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

15.02.2013, 13:47

Rabauke95

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Danke an bis hier hin an sulo smile

smile

@Equester

Ja, stimmt...mathematisch kann ich das auch nachvollziehen aber wie kommt man dadrauf? smile

smile

15.02.2013, 13:48

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Equester: $\begin{eqnarray*} (x^2-1)(x+2)\neq x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2) \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wieder weg
lg
kgV
Wink

Wink

15.02.2013, 13:52

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

@kgV: Einmal falsch geschrieben, dann immer copy&paste...
bleibt aber nur ein Schreibfehler. Habe sonst richtig gerechnet. Danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
(Werde es entsprechend oben editieren)

@Rabauke95:
Wie gesagt, das hattest du schon in die andere Richtung gerechnet, du musst es also nur wieder in die ursprüngliche Form bringen.

Hättest du nur das Polynom x³-3x+2 gegeben, würde dir Polynomdivision weiterhelfen. Du kennst das Verfahren dazu?

15.02.2013, 13:54

kgV

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Zitat:

Habe sonst richtig gerechnet

Habe ich nie in Zweifel gezogen. Wollte nur darauf hinweisen, nicht dass das iwo falsch abgeschrieben wird smile

smile

15.02.2013, 13:54

Rabauke95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt leider dringend weg sonst verpasse ich meinen Zug Big Laugh

Big Laugh

Bist du Samstag-Mittag noch da oder eher gesagt wieder da smile

smile

15.02.2013, 13:56

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für dein Vertrauen, kgV Big Laugh

Big Laugh

.

@Rabauke95: sulo oder ich, einer von uns ist bestimmt da smile

smile

.

15.02.2013, 13:57

Rabauke95

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Danke für dein Vertrauen, kgV Big Laugh

Big Laugh

.

@Rabauke95: sulo oder ich, einer von uns ist bestimmt da smile

smile

.

Super, vielen Dank...dann bis Samstag Wink

Wink

15.02.2013, 17:11

Marco12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte noch mal eine Frage..

wenn ich von der ursprünglichen Gleichung ausgehe und dann den Hauptnenner bilde komme ich ja auf

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1x+2}{x²-1} }{\frac{x²+x-2}{x+1} } \end{eqnarray*}$

so jetzt müsste ich ja mit dem Kehrwert rechen kann ich das irgendwie vereinfachen ?

15.02.2013, 17:16

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau möchtest du vereinfachen?

smile

smile

15.02.2013, 17:19

Marco12

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Ich muss ja mit dem Kehrwert weiterrechen wenn ich auf die Musterlösung kommen will oder ? wenn ich aber jetzt den Kehrwert nehme und ausmultipliziere komme ich auf ein ewig langes Ergebnis.

15.02.2013, 17:23

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x+2}{x²-1} }{\frac{x²+x-2}{x+1} } = \frac{\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} }{\frac{x²+x-2}{(x+1)} } \end{eqnarray*}$

Du solltest ans Kürzen denken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.02.2013, 17:30

Marco12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs vor mir liegen und sehs nicht geschockt

geschockt

aber der rest ist dann schwierig die x³-3x-2 so zu vereinfachen.

15.02.2013, 17:35

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{x+2}{x²-1} }{\frac{x²+x-2}{x+1} } = \frac{\frac{x+2}{(x-1)(x+1)} }{\frac{x²+x-2}{(x+1)} } =\frac{(x+2)*(x+1)}{(x-1)*(x+1)*(x^2+x-2) } \end{eqnarray*}$

smile

smile

15.02.2013, 17:38

Marco12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hab ich auch gesehen ^^ aber wie soll man dann auf sowas kommen ?

$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x^{3}-3x+2 }=\frac{x+2}{(x-1)²(x+2)} \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 17:43

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hatte ich zuerst auch nicht gesehen, deswegen hatte ich ja auch gesagt, dass dies die endgültige Lösung wäre. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man kann eine Polynomdivision durchführen (wobei ich diesmal Nenner und Zähler vertauschen würde, da der Rechner nicht kürzt).

Du teilst also (x³ - 3x + 2) : (x + 2)

Das Ergebnis ist dann x² - 2x + 1, welches dann (als Nenner!) faktorisiert wird.

smile

smile

15.02.2013, 17:56

Marco12

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Ah okay

smile

Danke für deine Hilfe Wink

Wink

15.02.2013, 18:26

sulo

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Gern geschehen. Wink

Wink

16.02.2013, 15:09

Rabauke95

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Ich habs jetzt auch verstanden smile

smile

Danke Euch!

16.02.2013, 15:11

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut uns. Freude

Freude

Ansonsten gilt: Immer nachfragen, solange noch was unklar ist. smile

smile

Wink

16.02.2013, 16:21

Rabauke95

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Hey Leute,

ich hab jetzt einen Musterlösungsweg im Internet gefunden, der sehr elegant aussieht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Leider kann ich die Rechenweghe nicht nachvollziehen und hab schon gar keine Idee, wie man auf diesen Lösungsansatz kommt...vllt kann ja von Euch jemand was zum Thema sagen smile

smile

Liebe Grüße
Rabauke

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2} -1} }{x-\frac{2}{x+1} }<br /> = \frac{(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^{2} -1})(x^{2} -1) }{(x-\frac{2}{x+1})(x^{2}-1) } <br /> = \frac{x+1+1}{x^{3}-x-2x+2 } <br /> = \frac{x+2}{(x+2)(x^{2}-2x+1) }<br /> =\frac{1}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

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