Substitutionsmethode

15.02.2013, 16:26

babum

Substitutionsmethode

Hallo!
Ich habe Probleme bei einer Aufgabe, bei der ich die Substitutionsmethode verwenden soll:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2y}{\sqrt{1-y^{4}} } \, dy \end{eqnarray*}$

In meinen Buch stand irgendwie etwas, dass ich den Nenner in eine Funktion h(u) packen soll.
So ganz habe ich das aber anscheinend nicht verstanden:

$\begin{eqnarray*} y = h(u), h(u) = \sqrt{1-u^2} , \frac{dy}{du} = \frac{-2u}{2\sqrt{1-u^2} }, dy = \frac{-2u}{2\sqrt{1-u^2}}*du \end{eqnarray*}$
Die formale Schreibweise jetzt vom Buch, nur eben mit meinen Werten.

Den Sinn hab ich glaube ich auch verstanden. Wenn ich später dann für u = y^2 einsetze, kommt wieder der Nenner raus.

Jetzt war ich ein wenig stutzig. Ich will ja eigentlich den Nenner dort vereinfachen, aber so bleibt er doch erhalten? Das einzige, was ich machen kann, ist entweder für alle y h(u) einsetzen. Dann hätte ich 'ne Mordsfunktion im Nenner.
Die andere Idee wäre, dy einzusetzen, mit edm, was ich auch gerechnet habe.
Da liegt aber wieder das Problem: Was bringt mit das? Der eigentliche Nenner ist dann doch immer noch nicht verschwunden.
Hab ich das ganze Prinzip irgendwie falsch verstanden? Beispiele gab es im Buch leider keine und auf Internetseiten hab ich es irgendwie noch weniger verstanden.

15.02.2013, 18:16

Kasen75

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Hallo,

ich würde $\begin{eqnarray*} y^2=u \end{eqnarray*}$ setzen (substituieren). Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} y(u)=u^{1/2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man y(u) ableiten: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{du}=\frac{1}{2} \cdot u^{-1/2} \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} dy=\frac{1}{2} \cdot u^{-1/2} \, du \end{eqnarray*}$

Das kannst du jetzt alles hier einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2y}{\sqrt{1-y^{4}} } \, dy \end{eqnarray*}$

Daraus folgt ein Grundintegral mit der Variable u. Die Lösung dieses Grundintegrals kannst in in einer Tabelle nachschauen. Danach rücksubstituieren.

Grüße.

15.02.2013, 18:22

original

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$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2y}{\sqrt{1-y^{4}} } \, dy \end{eqnarray*}$

Variante:

ich würde
$\begin{eqnarray*} 1- y^2=u \end{eqnarray*}$
setzen (substituieren). smile

und dann das Integral $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot \int \! u^{-\frac{1}{2} } \, du \end{eqnarray*}$
berechnen..

15.02.2013, 23:23

T.J

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@original
Ich kann mir grade nicht helfen, aber irgendwie komme ich weder von der Substitution auf das Zielintegral, noch liefert dieses das korrekte Ergebnis...

Der Ansatz von Kasen75 funktioniert, ich würde es aber übersichtlicher mit $\begin{eqnarray*} u=y^2 \end{eqnarray*}$ und entsprechend $\begin{eqnarray*} dy=\frac{du}{2y} \end{eqnarray*}$ machen. Weniger Wurzeln, Ergebnis nach dem Kürzen ist aber das selbe.
Übrig bleibt sollte eine einfache trigonometrische Identität, die man wohl einfach kennen oder irgendwo stehen haben muss...

16.02.2013, 19:07

original

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Zitat:

Original von T.J
@original
Ich kann mir grade nicht helfen, aber irgendwie komme ich weder von der Substitution auf das Zielintegral, noch liefert dieses das korrekte Ergebnis...

sorry - du hast Recht -> mein Fehler: ich hatte statt 1-y^4 leider 1-y^2 gelesen

also dann mit der Substitution u = y^2 .. usw ->

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{2y}{\sqrt{1-y^{4}} } \, dy= arcsin(y^2) +c \end{eqnarray*}$

nehme an, du hast auch dieses Ergebnis?

16.02.2013, 22:19

babum

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Jau, ich habs kapiert!
Hatte das im Buch komplett falsch aufgefasst (ist auch ziemlich schlecht formuliert und schlechtes Beispiel, das hatte mich total verwirrt).
Habs aber nun verstanden durch euren Ansatz. Habe dasselbe Ergebnis wie original raus, was auch die Lösung meines Profs ausspuckt. Augenzwinkern

Die nachfolgenden Aufgaben hab ich dann übrigens auch geschafft.

Dankel! smile

16.02.2013, 22:24

Kasen75

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Gerne. Freut uns, dass die restlichen Aufgaben auch geklappt haben.

Grüße.

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