Herleitung Vektorprodukt - Beweis

15.02.2013, 19:29	mbbm	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Vektorprodukt - Beweis Hallo, ich versuche gerade den Beweis dieses Satzes nachzuvollziehen, welcher letztendlich dazu dient, die Definition des Vektorproduktes herzuleiten. Sei $\begin{eqnarray} \underline{v}:=v_1,...,v_n \end{eqnarray}$ eine ON Basis von V. Weiters sei $\begin{eqnarray} \underline{w}:=w_2,...,w_n \in V^{n-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \underline{w}=\underline{v}P \end{eqnarray}$ Dann gibt es genau einen Vektor w aus V mit folgender Eigenschaft: ist $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ beliebig und $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Koordinatenspalte von v bezüglich $\begin{eqnarray} \underline{v} \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} <v,w>=det(x\|P) \end{eqnarray}$ . Beweis: (1) Eindeutigkeit: Der Vektor w besitze die Koordinatenspalte $\begin{eqnarray} y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} \underline{v} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \underline{v} \end{eqnarray}$ eine ON-Basis ist, gilt für jedes j, $\begin{eqnarray} 1\leq j\leq n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} y_j=<w,v_j>=<v_j,w>=det(e_j\|P) \end{eqnarray}$ * Den Schritt * verstehe ich nicht ganz, wie der Beweis weiterläuft ist klar. Was ich bis jezt weiß ist warum $\begin{eqnarray} y_j=<w,v_j> \end{eqnarray}$ gilt. Aber das mit der Determinante dieser Matrix ist mir nicht klar. Könnte mir das jemand bitte erklären?? mfg
20.02.2013, 17:03	mbbm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung Vektorprodukt - Beweis Hallo, hier ist ein Screenshot vom Satz aus meinem Skript. Dann müsste klar sein was ich meine: [attach]28628[/attach] Ich glaube ich bin auch ein bischen weitergekommen. Es gilt ja das Skalarprodukt zweier Vektoren, ist dasselbe wie das Skalarprodukt der entsprechenden Koordinatenspalten. Und die Koordinatenspalte einer Basis bezüglich derselben Basis, ist ja gerade die entprechende Standardbasis,also ist: $\begin{eqnarray} y_j=<v_j,w>=<e_j, \mu(w)>=<e_j,P_{-j}> \end{eqnarray}$ Aber der Übergang zu der Determinante ist für mich, leider immer noch nicht nachvollziehbar und ich bin mir auch nicht sicher, ob $\begin{eqnarray} \mu(w)=P_{-j} \end{eqnarray}$ gilt, denn w ist ja beliebig aus V und nicht Element aus $\begin{eqnarray} \underline{w} \end{eqnarray}$ und somit muss es ja nicht im Spaltenraum von P sein.

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