Konvergenzen

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Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzen
Meine Frage:
Ich komme leider bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Zeige, daß die rekursiv definierte Folge





konvergiert und berechne den Grenzwert. Tipp: Benutze das Monotoniekriterium

Meine Ideen:
Ich bin ehrlich und gib zu das ich ein wenig probleme habe das Monotoniekriterium anzugehen.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde zuerst per Induktion zeigen, dass für alle . Damit ist dann nämlich auch schnell die Monotonie gezeigt.

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Das problem ist das ich es als ziemlich schwer empifinde hier die Induktion anzuwenden.

Wie wende ich hier genau die Induktion an?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich so wie immer. Mach doch erstmal den Induktionsanfang.

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Für was soll ich den hier beim Ind.Anfang einen wert einsetzen .

Für das an?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Du möchtest für alle zeigen. Also solltest du im Induktionsanfang nachweisen, dass für gilt, sprich dass

Gruß Shipwater
 
 
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht wie ich das machen soll.

Ich setze z.B an = 2 ein:

an+1 = 2

Das kriege ich dann raus.

Stimmt das oder wie?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will dir jetzt nicht zu nahe treten, aber es erscheint mir gerade so als hättest du überhaupt gar keine Ahnung, um was es hier geht. Vielleicht liest du in deinem Skript nochmal das Kapitel zu Folgen durch und versuchst es dann nochmal.
Beim Induktionsanfang musst du hier wie gesagt nur verifizieren. Weil laut Definition gilt und ist, ist der Induktionsanfang auch schon erledigt. Nun kommt der spannendere Teil, der Induktionsschritt. Hier gehst du davon aus, dass für ein beliebiges, aber festes gilt und folgerst daraus, dass dann auch ist. Dabei kommt nun natürlich die rekursive Definition der Folge ins Spiel, also

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss der Induktionsschritt so sein oder :



shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das sein? Du musst ausgehend von folgern dass . Dafür ist es hilfreich letztere Ungleichung als zu schreiben und dann die linke Seite zusammenzufassen (Hauptnenner).

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich weiter vorgehen?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ok, die 2 kannst du aber direkt im Nenner einbauen was dann ergibt. Nun fasse die linke Seite zu einem einzigen Bruch zusammen. Im Zähler solltest du dann eine binomische Formel erkennen.

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 binom. Fohabe ich nicht ganz hinbekommen.

Bitte um hilfe.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast falsch faktorisiert. Vergleiche doch mal mit und versuche es dann erneut.

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja genau . Jetzt habe ich es .

Wie gehe ich weiter vor?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg doch zuerst mal selbst. Ist diese Ungleichung denn wahr unter der Voraussetzung, dass ?

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich glaube nicht denn der bruch geht gegen 0 oder?

Soll ich ein >= zeichen einbauen?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte der Bruch denn gegen null gehen? Aus ergibt sich doch sofort sowie
Das heißt Zähler und Nenner sind positiv. Was hat das für Konsequenzen für den gesamten Bruch?

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube der Bruch wird immer grösser oder ?

Kannst du mir aber kurz erklären warum wir die Induktion für kleiner wurzel 2 gemacht haben?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh jetzt nur Bahnhof. Schau doch vielleicht mal nach, ob ihr nicht schon ähnliche Beispiele gerechnet habt. Vielleicht wird dir das ganze dann klarer.
Idee ist eben die Konvergenz mit dem Monotoniekriterium nachzuweisen. Das heißt hier, dass wir zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt und monoton fallend ist. Dass eine untere Schranke existiert, haben wir gerade mit Induktion gezeigt. Dabei hätten wir nicht unbedingt als untere Schranke nehmen müssen. Einfacher wäre es zum Beispiel gewesen, zu zeigen, dass null eine untere Schranke ist (das würde ich hier sogar als trivial bezeichnen). Aber ich hatte ja oben schon erwähnt, dass uns die Aussage "" später auch noch gleich die Monotonie der Folge schenkt. Deshalb lohnt sich der Mehraufwand da uns "" alleine nicht hilft um die Monotonie nachzuweisen und wir das dann sowieso hätten nacharbeiten müssen.

Gruß Shipwater
Chip007 Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich jetzt zeigen dass an > an+1 ist ?
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
Aus ergibt sich doch sofort ...


Ich störe nur ungern aber Quadrate reeller Zahlen sind immer nicht-negativ.

Es gilt also immer:



Wie man sieht wird hier die IV gar nicht benötigt weshalb es auch gar keiner Induktion bedarf.
Die Beschränktheit folgt direkt.

Ebenfalls direkt folgt dann, mit Hilfe dieser Abschätzung, die Monotonie.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

@ Jello Biafra: Bei dir folgt aber nicht wie du fälschlicherweise notiert hast, sondern nur (natürlich ist das hinsichtlich der Aufgabenstellung nicht weiter schlimm, aber sollte trotzdem erwähnt werden). Außerdem benutzt du insgeheim, dass für alle gilt. Und hier tritt dann eben doch Induktion auf (gut hier passt mal wieder der Begriff "Mini-Induktion"). Daher stehe ich nun immer noch zu meinem Weg, aber eventuell übersehe ich ja auch gerade nur etwas oder wir haben da einfach andere Geschmäcker.


Zur Monotonie: Aus "" folgt nun sofort ""
Benutze diese Abschätzung, um nach oben abzuschätzen.

Gruß Shipwater
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
...oder wir haben da einfach andere Geschmäcker.


Mag sein aber um Geschmacksfragen geht's eigentlich gar nicht, denn eine Induktion, die im IS ohne IV auskommt, macht einfach keinen Sinn.
Nichts anderes wollte ich sagen.
Das könntest Du doch einfach zur Kenntnis nehmen anstatt da jetzt eine völlig deplatzierte Haarspalterei anzufangen.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jello Biafra
Mag sein aber um Geschmacksfragen geht's eigentlich gar nicht, denn eine Induktion, die im IS ohne IV auskommt, macht einfach keinen Sinn.
Nichts anderes wollte ich sagen.
Das könntest Du doch einfach zur Kenntnis nehmen anstatt da jetzt eine völlig deplatzierte Haarspalterei anzufangen.


Naja um Haarspalterei geht es mir ja überhaupt gar nicht. Ich sehe nur nicht wo mein Fehler sein soll und bin eben der Meinung, dass du dich hier irrst. Denn ich benötige die IV sehr wohl im IS. Wie schon gesagt benötigt man die IV also um folgern zu können sowie um folgern zu können und damit eben insgesamt
Vielleicht siehst du ja nun auch ein, dass die Induktion im IS nicht ohne IV auskommt. Falls nein, darfst du mir gerne meinen Denkfehler aufzeigen.

Gruß Shipwater
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
... Denn ich benötige die IV sehr wohl im IS.
Wie schon gesagt benötigt man die IV also um folgern zu können


Das ist eben genau der Punkt wo Du die IV eben nicht brauchst, denn



Insbesondere auch für

Dann hast Du zwar nicht die strenge Ungleichung aber die brauchst Du ja auch gar nicht, denn es geht ja nur um Beschränktheit nach unten.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam komme ich mir hier etwas veräppelt vor. Zuerst beschwerst du dich, dass ich die IV im IS nicht benutze. Dann zeige ich dir, dass die IV sehr wohl in den IS eingeht und du konterst mit "ja aber für die schwächere Aussage mit hätte man die IV nicht benötigt".
Erstens hab ich nunmal die stärkere Aussage bewiesen und zweitens würde die IV auch beim Beweis der schwächeren Aussage im IS eingehen, denn es muss garantiert sein. Diesen Teil solltest du nicht verachten.

Gruß Shipwater
Jello Biafra Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
So langsam komme ich mir hier etwas veräppelt vor.


Dito.
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