Gaußsches Verfahren

15.02.2013, 21:34

Amplitude

Gaußsches Verfahren

Kann mir jemand eventuell sagen was mit folgender Aufgabe gemeint ist:

Man bestimme - abhangig von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - sämtliche Losungen des linearen Gleiehungssystems im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3/2 & 2 \\ 2 & 2 & 7/2 & 3 \\ 3 & 3 & \alpha + 4 & 6\alpha +7 \\ 4 & 5 & 7 & 30\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Absolutglieder sind alle 0 (Also homogenes lineares Gleichungssystem, hab es nicht hinbekomm mithilfe von Latex die Gleichungen in der Matrixform folgenderweise zu beschreiben: (A/b) mit b=0 )

Mich würde nun nur interessieren was das $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ bedeutet. Werden damit die 4 unbekannten Variablen gemeint oder die Anzahl der Zeilen/Gleichungen der Matrix bzw. des Gleichungssystems oder was auch immer?

Wie ich die 4 Variablen lösen kann, weiss ich ansonsten (Gauß-Verfahren). Also kurz: Was heißen die $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ und muss ich das irgendwie beim Eliminationsverfahren berücksichtigen.

Gruß.

15.02.2013, 21:56

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension (4) wird von der Anzahl der Spalten, also von der Anzahl der Unbekannten bestimmt. Im gegebenen Fall gibt es auch 4 Gleichungen (--> Zeilen), was aber nicht immer der Fall sein muss.
Es können auch weniger oder mehr Gleichungen gegeben sein.

Die Lösung wird daher ein Quadrupel (4-Tupel) und somit ein Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_4 \end{eqnarray*}$ sein.

mY+

15.02.2013, 22:04

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn z.B. 2 Unbekannten gegeben sind, dann handelt s sich um R^2 (Latexform) und bei der Rechnung muss ich auf nichts achten? Steht da nur als ,Zwischeninformation" um welche Anzahl an Spalten es sich handelt (Hier zwei).

16.02.2013, 00:56

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gaußsches Verfahren
die erweiterte Matrix schreibt man so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 1 & 1 & 3/2 & 2&0 \\ 2 & 2 & 7/2 & 3 &0\\ 3 & 3 & \alpha + 4 & 6\alpha +7 & 0\\ 4 & 5 & 7 & 30& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.02.2013, 12:47

Amplitude

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gaußsches Verfahren

Zitat:

Original von Dopap
die erweiterte Matrix schreibt man so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 1 & 1 & 3/2 & 2&0 \\ 2 & 2 & 7/2 & 3 &0\\ 3 & 3 & \alpha + 4 & 6\alpha +7 & 0\\ 4 & 5 & 7 & 30& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke.^^

Aber ich bin mir nun etwas unsicher bezüglich der Rechnung. Kann jemand einfach bestätigen, dass man die Aufgabe mithilfe des GaußAlgorithmus einfach lösen muss wie jedes andere Lineare Gleichungssystem und ich nicht auf die $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$ achten muss? Und diese ebend nur aussagt das es sich hier um 4 Spalten der Matrix handelt oder wie ist das zu verstehen ? Ich verstehe das nicht so richtig bzw. bin mir unsicher.

16.02.2013, 13:01

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gaußsches Verfahren
Verstehst du richtig. Einfach drauflos Gauß-en.

Man könnte auch an Lösungen interessiert sein, die aus vier rationalen Zahlen bestehen. Dann würde man in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}^4 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ suchen. Gauß würde man trotzdem verwenden, müsste dann aber zusätzlich prüfen, ob die Lösung(en) eben aus vier rationalen Zahlen bestehen.

16.02.2013, 16:11

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

beim Umformen stösst man auf den Faktor $\begin{eqnarray*} 2a-1\neq 0 \end{eqnarray*}$

1.) Wenn $\begin{eqnarray*} a=\frac 12 \end{eqnarray*}$ , dann ist der Rang der Matrix 4 und man erhält die triviale Lösung

$\begin{eqnarray*} \vec x =(0,0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ , das heißt, der Ursprung $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ist Lösung. Natürlich ist die Lösung auch rational, sogar ganzzahlig.

2.) für $\begin{eqnarray*} a\neq \frac 12 \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} ax_4=0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du eine weitere Fallunterscheidung machen.
Wie wirkt sich diese auf die Lösungsmenge aus?

16.02.2013, 16:28

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap: Ich habe als Determinante 4a verwirrt

16.02.2013, 16:35

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das bedeutet, dass für a=0 nichttriviale Lösungen existieren.

16.02.2013, 16:45

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir schon klar.
Ich wunderte mich nur, weil bei meinen Umformungen 2a-1 nicht auftrat und wegen der Determinanten ist a=1/2 auch nicht kritisch.
Aber wenn ich deinen Post jetzt nochmal lese, kommst du ja letztlich auf das gleiche Ergebnis. Bitte um Entschuldigung, sorgfältig lesen hilft wirklich

16.02.2013, 17:23

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gaußsches Verfahren
ohne Brüche:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 2 & 2 & 3 & 4&0 \\ 4 & 4 & 7 & 6 &0\\ 6 & 6 & 2a + 8 & 12a +14 & 0\\ 8 & 10 & 14 & 60& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

L2=L2-2*L1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 2 & 2 & 3 & 4&0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 &0\\ 6 & 6 & 2a + 8 & 12a +14 & 0\\ 8 & 10 & 14 & 60& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

L3=L3-3L1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 2 & 2 & 3 & 4&0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 &0\\ 0 & 0 & 2a -1 & 12a +2 & 0\\ 8 & 10 & 14 & 60& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

L4=L4-4*L1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 2 & 2 & 3 & 4&0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 &0\\ 0 & 0 & 2a -1 & 12a +2 & 0\\ 0 & 2 & 2 & 44& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

L4<---->L2

L3<---->L4

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 2 & 2 & 3 & 4&0 \\ 0 & 2 & 2 & 44 &0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 2a-1 & 12a+2& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

L4=L4-(2a-1)*L3

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin {array}{cccc|c} 2 & 2 & 3 & 4&0 \\ 0 & 2 & 2 & 44 &0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 16a& 0\end{array}\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

mal ganz ausführlich und mechanisch geschrieben - auch für den Threadsteller -

Es ging ja um den Gauss-Algorithmuss. (Oder Gauss-Jordan ? )

Neue Frage »

Antworten »

Gaußsches Verfahren

Verwandte Themen