Konvergenz einer Reihe prüfen

15.02.2013, 23:09

abiturient_61

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Konvergenz einer Reihe prüfen

Hallo alle zusammen,

folgende Reihe habe ich auf Konvergenz/Divergenz geprüft:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{k^{3} }{4^{k} } \end{eqnarray*}$

1. notwendige Bedingung: die Folge geht gegen 0... tut sie auch, da 4^k viel schneller gegen unendlich strebt als 3^k.

nun wende ich das Wurzelkriterium an:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{| a_{k} | } \end{eqnarray*}$

< 1 , dann konvergiert die Reihe
= 1, keine Aussage
> 1, divergiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \sqrt[k]{| \frac{k^{3} }{4^{k} } | } = (\frac{k^{3} }{4^{k} })^{\frac{1}{k} } = \frac{k^{\frac{3}{k} } }{4^{\frac{k}{k} } } = \frac{k^{\frac{3}{k} } }{4 } \end{eqnarray*}$

ich weiß da fehlen einige lim k => unendlich, hier nochmal ausgeschrieben, bevor ich dann für k unendlich einsetze:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{k \to \infty }\frac{k^{\frac{3}{k} } }{4 }= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Habe ich das mit dem Betrag im Wurzelkriterium richtig gemacht ? Ich habe einfach die Folge eingesetzt, da sie schon positives Vorzeichen hatte...

D.H. also nach dem Wurzelkriterium würde die Reihe konvergieren, wenn ich alles richtig gemacht habe.

15.02.2013, 23:13

shipwater

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Sieht ok aus.

Gruß Shipwater

15.02.2013, 23:19

abiturient_61

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freut mich vielen dank smile

smile

15.02.2013, 23:21

Che Netzer

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von abiturient_61
1. notwendige Bedingung: die Folge geht gegen 0... tut sie auch, da 4^k viel schneller gegen unendlich strebt als 3^k.

Das hier ist allerdings völlig überflüssig.

15.02.2013, 23:26

Jello Biafra

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Du solltest vielleicht noch ein Wort darüber verlieren weshalb gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{k^3}=1. \end{eqnarray*}$

15.02.2013, 23:39

abiturient_61

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer
Das hier ist allerdings völlig überflüssig.

Erzähl das meinem Prof ^^

Zitat:

Original von Jello Biafra
Du solltest vielleicht noch ein Wort darüber verlieren weshalb gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{k^3}=1. \end{eqnarray*}$

3/k wird zu 3/unendlich... = 0...

also wird k^0 da stehen und das ist gleich 1. Hab mir nur n latex-schritt gespart ^^

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15.02.2013, 23:44

Iorek

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von abiturient_61

3/k wird zu 3/unendlich... = 0...

also wird k^0 da stehen und das ist gleich 1. Hab mir nur n latex-schritt gespart ^^

Also ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \frac {\frac 1k}{\frac 1k}=0 \end{eqnarray*}$ , schließlich wird $\begin{eqnarray*} \frac 1k \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac 1{\infty} \end{eqnarray*}$ , also zu 0, also steht da $\begin{eqnarray*} \frac 0{\frac {1}k} \end{eqnarray*}$ und das ist 0... geschockt

geschockt

Du kannst doch nicht einfach den Grenzwert nur für die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bilden, für die es dir gerade passt.

15.02.2013, 23:45

Che Netzer

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen
Bist du ganz sicher, dass ihr das notwendige Kriterium anfangs immer überprüfen müsst?
Und dass du das Wort "notwendig" nicht nur missverstehst oder es euch empfohlen wurde?

Und ansonsten bin ich wohl fälschlicherweise davon ausgegangen, dass du die richtige Begründung für $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^3}\to1 \end{eqnarray*}$ hattest...

15.02.2013, 23:45

Jello Biafra

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von abiturient_61

3/k wird zu 3/unendlich... = 0...

also wird k^0 da stehen und das ist gleich 1. Hab mir nur n latex-schritt gespart ^^

Ja, so was habe ich schon vermutet.
Diese Argumentation solltest Du ganz schnell vergessen, denn Du lässt dabei außer Acht, dass der Radikand nicht konstant ist.

Also hast Du da noch was zu tun...

15.02.2013, 23:46

shipwater

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So würde ich jetzt nicht gerade begründen, denn die Basis geht ja gegen unendlich also hast du hier den Fall " $\begin{eqnarray*} \infty^0 \end{eqnarray*}$ ". Das ist nun allerdings ein unbestimmter Ausdruck. In solchen Fällen kann durchaus was anderes rauskommen als 1. Dafür kannst du dir ja mal selbst ein Beispiel überlegen.
Ich ging eigentlich davon aus, dass du $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{k}=1 \end{eqnarray*}$ verwendet hast. Habt ihr das denn schon bewiesen?

Gruß Shipwater

16.02.2013, 00:01

abiturient_61

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Ach jetzt versteh ich ^^ Glatt übersehen, natürlich ist es ein unbestimmter Ausdruck.

Nein, haben wir noch nicht bewiesen und ich hab da den Fehler gemacht.
Ich weiß aber auch nicht wirklich, wie ich das beweisen kann ?

16.02.2013, 00:12

abiturient_61

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer
Bist du ganz sicher, dass ihr das notwendige Kriterium anfangs immer überprüfen müsst?
Und dass du das Wort "notwendig" nicht nur missverstehst oder es euch empfohlen wurde?

Magst ja Recht haben, aber uns wird das halt so empfohlen und wir sollen das auch so machen.

Gibt auch reichlich Reihen in den Aufgaben, die keine Nullfolgen enthalten... da rechnet man dann nur blöd rum. In der Ingenieurmathematik hat man wenig Zeit (90min für die Klausur) und muss eben auf nummero sicher gehen smile

smile

16.02.2013, 00:15

Che Netzer

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen
Aber der Empfehlung musst du ja nicht insofern nachgehen, dass du diese Bedingung IMMER überprüfst – wenn du schon einen "Verdacht" hast, wie du vorgehen könntest bzw. ob die Reihe konvergiert, kannst du dir das sparen.

Und beim Aufschreiben sowieso, wenn es mit dem notwendigen Kriterium noch nicht funktioniert hat.

16.02.2013, 00:34

Jello Biafra

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Zitat:

Original von abiturient_61
Ich weiß aber auch nicht wirklich, wie ich das beweisen kann ?

Setze $\begin{eqnarray*} b_n:=\sqrt[n]{n} -1. \end{eqnarray*}$

Mit dem binomischen Lehrsatz bastelst Du Dir dann eine Abschätzung für

$\begin{eqnarray*} n=(1+b_n)^n=\ldots \end{eqnarray*}$

mittels derer Du dann zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n=0. \end{eqnarray*}$

16.02.2013, 01:18

abiturient_61

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von Che Netzer
Aber der Empfehlung musst du ja nicht insofern nachgehen, dass du diese Bedingung IMMER überprüfst – wenn du schon einen "Verdacht" hast, wie du vorgehen könntest bzw. ob die Reihe konvergiert, kannst du dir das sparen.

Und beim Aufschreiben sowieso, wenn es mit dem notwendigen Kriterium noch nicht funktioniert hat.

^^ Ich lerne für meine mathe-1 Klausur... In der Klausur vom letzten Jahr ist beispielsweise eine Aufgabe drin, wo durch zwei Umformungen deutlich wird, dass an eine Nullfolge ist.. Dann hätte ich nicht weiterrechnen müssen....

Ich habe das "notwendige Kriterium" zunächst nicht verwendet und habe blöd dran rumgerechnet und kam zu keinem Ergebnis...

Deswegen sollen wir es benutzen, um zu sehen, ob es Sinn macht weiterzurechnen. Die Aufgaben sind ja auch dementsprechend gestellt. Wir sollen nur auf Konv. / Div. prüfen.. Ist es eine Nullfolge sagen wir ganz einfach die Reihe ist divergent und fertig ist die Aufgabe !

Mag sein, dass wenn man schon mathe 4 hinter sich hat meint, dass es besser ist, wenn man direkt dran rumrechnet.

Aber du hast insofern Recht, dass ich es nicht hier im Forum posten musste.

Zitat:

Original von Jello Biafra

Zitat:

Original von abiturient_61
Ich weiß aber auch nicht wirklich, wie ich das beweisen kann ?

Setze $\begin{eqnarray*} b_n:=\sqrt[n]{n} -1. \end{eqnarray*}$

Mit dem binomischen Lehrsatz bastelst Du Dir dann eine Abschätzung für

$\begin{eqnarray*} n=(1+b_n)^n=\ldots \end{eqnarray*}$

mittels derer Du dann zeigst, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n=0. \end{eqnarray*}$

Blicke leider nicht durch, aber ich glaube es ist besser wenn ich das jetzt vernachlässige. Gibt noch 10 weitere Themen aus mathe-1 die ich lernen muss... smile

smile

Danke trotzdem !

16.02.2013, 03:02

studi2w

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Konvergenz prüfen
Hallo,

habe eine Frage zu folgender Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{6k}{\sqrt{k^3 - 3} } \end{eqnarray*}$

Ich soll nun untersuchen ob die Reihe konvergiert. Ich habe mir gedacht, dass das eventuell mit dem Minorantenkriterium geht, wenn ich sage, dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{k^3} } \end{eqnarray*}$ divergent ist, so ist auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{6k}{\sqrt{k^3 - 3} } \end{eqnarray*}$ divergent.

Ich dachte, dass wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k} } \end{eqnarray*}$ divergent ist , so ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{k^3} } \end{eqnarray*}$ divergent und somit auch die Reihe ganz oben.

Ist das so akzeptabel?

LG

16.02.2013, 07:41

Mystic

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RE: Konvergenz prüfen
Tatsächlich ist nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac 1{\sqrt{k^3}} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac k{\sqrt{k^3}} \end{eqnarray*}$

eine divergente Minorante und das ist ein himmelhoher Unterschied... geschockt

geschockt

16.02.2013, 09:36

Che Netzer

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Zitat:

Ist es eine Nullfolge sagen wir ganz einfach die Reihe ist divergent und fertig ist die Aufgabe !

Da ist wohl etwas durcheinandergeraten.
Aber es reicht auch, zu "überschlagen", ob die Summanden eine Nullfolge bilden. Wenn man dabei durch formlose Argumente wie "der Nenner wächst schneller als der Zähler" darauf kommt, braucht man das ganze nicht ganz sauber zu zeigen.
Stattdessen kann man gleich ein hinreichendes Kriterium anwenden.
Und bei manchen Reihen kann man sofort sehen, dass man das Majorantenkriterium anwenden könnte.

Edit: Ach ja, und da du mit dem Wurzelkriterium hier anscheinend nicht vorankommst: Benutze stattdessen das Quotientenkriterium.

@studi2w:
Stell die Frage besser in einen neuen Thread, das ist übersichtlicher. Mehr als Mystic sage ich hier daher auch nicht zu deiner Rechnung.

16.02.2013, 14:17

Jello Biafra

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RE: Konvergenz einer Reihe prüfen

Zitat:

Original von abiturient_61
Blicke leider nicht durch, aber ich glaube es ist besser wenn ich das jetzt vernachlässige. Gibt noch 10 weitere Themen aus mathe-1 die ich lernen muss... smile

smile

Danke trotzdem !

Schade, da ist nämlich im Grunde nicht viel zu tun.

Sei $\begin{eqnarray*} b_n:=\sqrt[n]{n}-1\text{ und }n\geq 2. \end{eqnarray*}$ Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} n=(1+ b_n )^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_n^k\geq 1+ n b_n+ {n\choose 2} b_n^2\geq 1+\frac{n(n-1)}2 b_n^2. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nun:

$\begin{eqnarray*} 0\leq|b_n|\leq \sqrt{\frac 2n}\longrightarrow 0. \end{eqnarray*}$

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