unstetige Verteilungsfunktion: Bestimme Wahrscheinlichkeiten, Erwartungwert, Varianz

15.02.2013, 23:46	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
unstetige Verteilungsfunktion: Bestimme Wahrscheinlichkeiten, Erwartungwert, Varianz Hallo, Ich habe folgende Aufgabe gegeben und ein paar Fragen dazu: (a und b sind mir klar - unklar wirds ab c bei Bestimmung von Varianz, Erwartungswert und Frage zu Dichte) Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F: \mathbb{R} \rightarrow [0,1] \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} <br /> f(n)=\begin{cases} 0, & \text{wenn }x<0\\ \frac{1}{5}x + \frac{1}{5}, & \text{wenn } 0 \leq x < 1 \\<br /> 1 , & \text{wenn} x \geq 1\end{cases} \end{eqnarray}$ a) Zeichnen Sie F(x) (erledigt) F(x) ist konstant gleich 0 für alle Werte kleiner als 0. Dann hat es eine Sprungstellt der Höhe 1/5 und wächst also zwischen 0 und 1 konstant mit Faktor 1/5. Bei der Stelle 1 ergibt sich nochmals ein Sprung von 3/5 und anschließend ist F(X) konstant gleich 1 b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} P({X=0})=\frac{1}{5} \end{eqnarray}$ da Sprungstelle bei X=0 um 1/5 $\begin{eqnarray} P({X=0,5})=0 \end{eqnarray}$ da stetig bei X=0,5 c) Bestimmen Sie den Erwartungswert. Den Erwartungswert bekomme ich normalerweise über Integral von - unendlich bis unendlich über Zufallsvariable mal Verteilung. Hier: $\begin{eqnarray} E(X)= 0 \cdot P(X=0) +\int_0^1(x \cdot \frac{1}{5}) dx + 1 \cdot P(X=1)= \frac{1}{10} + \frac{3}{5} \end{eqnarray}$ Also der zweite Term ist mir klar - aber warum nehme ich 0 mal den ersten und 1mal den letzten? (das ist die besprochene Lösung bei uns aus der Übungsgruppe) d) Bestimmen Sie die Varianz. Ich weiß $\begin{eqnarray} Var(X)=E(x^2) - E(X)^2 = \ldots - 0,7^2 \end{eqnarray}$ Ich weiß aber nicht, wie ich $\begin{eqnarray} E(x^2) \end{eqnarray}$ bestimme (weil mir auch schon E(x) nicht ganz klar war... (beim zweiten Term würde ich einfach x² einsetzen statt x, aber der erste und letzte Term sind mir unklar.. ) e) Hat X eine Dichte bzgl des Zählmaßes oder bezüglich des Lebesguemaßes? Hier würde ich mich über einen Tipp freuen...tappe etwas im Dunkeln. Vielleicht hat es damit zu tun, dass die Verteilungsfunktion unstetig ist und wir deshalb keine wirkliche Dichte haben (die müsste ja z.B. an der Stelle X=0 vom unendlichen auf einen festen Wert fallen... Aber worin besteht hier der Unterschied zwischen dem Zählmaß und dem Lebesquemaß? Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen kann. Duude

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