Komplexe Linearkombination

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Vinterblot Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Linearkombination
Hallo,

folgende Aufgabenstellung
Zitat:

Zeigen Sie, dass die Vektoren v1 = (1, 2i, -3), v2=(2, 1+i, 1), (-1,1, -i) eine Basis des C^3 bilden und berechnen Sie die Koordinaten des Vektores w = (1, 2, 0) relativ zu dieser Basis.


Es geht mir hierbei vorallem um den zweiten Teil der Fragestellung.
Ich habe dass doch richtig verstanden, dass ich w als Linearkombination der Basisvektoren darstellen soll, korrekt?

D.h. ich stelle eine erweiterte Koeffizientenmatrix



auf und forme den linken Teil in die Einheitsmatrix um, um die Lösungen im rechten Teil zu erhalten.

Meine Frage ist jetzt: Ist das die einzige Methode oder gibt es da etwas, was effizienter ist? Das ist eine alte Klausuraufgabe und ich frage mich grade, wie man das zeitlich schaffen soll, sich um diese Aufgabe zu kümmern?! Das ist ja uuuuunheimlich zeitaufwändig, zumal es nur eine Teilaufgabe ist....

Hinterher gibts dann ja so Scherze wie das dividieren von Komplexen Zahlen, was zwar nicht besonders anspruchsvoll ist, aber unheimlich Zeit kostet.

Oder hab ich die Aufgabe völlig falsch verstanden?

PS: Die Überprüfung des ersten Teils habe ich gemacht, indem ich die Determinante gebildet habe und dann den Satz angewendet habe, dass n Vektoren aus dem K^n eine Basis bilden, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist. Soweit richtig?

Danke schonmal für eure Unterstützung
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Rang der Matrix berechnen dürfte oft schneller gehen als Determinante berechnen.
Gleichungssystem lösen ist eine gute Idee, aber dann musst du mit der richtigen Matrix anfangen. Deine Matrix enthält einen Fehler.
Übrigens ist die erste Frage automatisch beantwortet, wenn du die zweite löst, denn wenn du die Matrix auf die Einheitsmatrix bringen kannst, ist ihr Rang = 3.
Vinterblot Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, die Matrix ist korrekt, bei der Aufgabenstellung ist mir bei v1 ein Fehler unterlaufen Augenzwinkern Ich korrigiere es mal.

Es gibt also keine andere (schnellere) Möglichkeit als die komplexe Matrix in die Einheitsmatrix zu überführen?

Edit: Ok, korrigieren geht nicht mehr. V1 sollte aber (1, 2i, -i) sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich kenne keine schnellere Möglichkeit als den Gauß-Algorithmus.
Ja, rechnen ist ein mühsames Geschäft, das nimmt mancher Mathematiker auf sich ... seufz.
Vinterblot Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mach mir ja nur Sorgen um die Zeit, die ich dafür benötigen würde Augenzwinkern
Danke für deine Hilfe, jetzt bin ich da wenigstens sicher smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wieso must du dividieren ? Ich sehe folgende Zeilenoperatonen:

L2=L2-2*i*L1
L3=L3+i*L1
L3=2*L3+(1-i)*L2

mit dem Ergebnis:



und jetzt weiter mit:

L1=6*L1-(5-5i)*L3
L2=6*L2+(1-3i)*L3

führt auf



diese Multiplikationen und Additionen sind doch "schnell" erledigt. Augenzwinkern
 
 
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