FibonacciQuotient - Konvergenz

16.02.2013, 11:39

ashu

FibonacciQuotient - Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

ich denke das Thema ist vielen hier zur genüge bekannt.
1. Der Quotient zweier aufeinanderfolgender FibonacciZahlen konvergiert.
2. Bestimmen Sie den GW

Meine Ideen:
So, nun ist mir bekannt, dass der GW natürlich der goldene Schnitt ist. Man kann ja die FB-Folge relativ leicht zu einem Kettenbruch umformen und einen GW annehmen. Dann muss man nur noch eine quadratische Gleichung lösen.

Wenn man den GW mal hat, ist auch die Konvergenz leicht zu beweisen,
aber kann mir jemand sagen wie ich NUR die Konvergenz des Quotienten der FB-Folge bestimmen kann, nur unter Hilfenahme des Bildungsgesetzes?

16.02.2013, 12:00

zyko

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RE: FibonacciQuotient - Konvergenz
Schau mal hier:
http://matheplanet.com/default3.html?cal...ved%3D0CD4QFjAB

16.02.2013, 13:13

RavenOnJ

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RE: FibonacciQuotient - Konvergenz

Zitat:

Original von ashu

Wenn man den GW mal hat, ist auch die Konvergenz leicht zu beweisen,

Das ist eine Tautologie, denn

"GW existiert $\begin{align*} \Leftrightarrow \end{align*}$ Folge konvergiert"

Zitat:

aber kann mir jemand sagen wie ich NUR die Konvergenz des Quotienten der FB-Folge bestimmen kann, nur unter Hilfenahme des Bildungsgesetzes?

Aber du kommst doch gerade auf die Kettenbruchdarstellung von

$\begin{eqnarray*} \phi := \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = 1+\frac 1 {1+\frac 1 {1+\ddots}}= \frac {1+\sqrt{5}} 2 \end{eqnarray*}$

über das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge. Dass dieser Kettenbruch existiert, kann man über die Abschätzung $\begin{align*} 0 < \phi < 2 \end{align*}$ zeigen.

16.02.2013, 17:39

ashu

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RE: FibonacciQuotient - Konvergenz
@zyko: Den Link kenne ich schon. Aber der Verwendet ja den goldenen Schnitt bereits.

@raven: Naja ich meine das so, wenn man annimmt, der Quotient würde konvergieren, dann kann man ja sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1+\frac{1}{a_{n} } \end{eqnarray*}$
Da sich diese Werte ab einem gewissen n nicht mehr unterscheiden, kann man die Gleichung einfach lösen und erhält gerade Phi. Dann kann man natürlich behaupten, die Folge konvergiert und dies mit Phi zeigen. Aber ich möchte nicht erst annehmen, dass die Folge konvergiert, sondern erstmal zeigen das sie überhaupt konvergiert.

16.02.2013, 18:50

RavenOnJ

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Zitat:

Original von ashu
Naja ich meine das so, wenn man annimmt, der Quotient würde konvergieren, dann kann man ja sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=1+\frac{1}{a_{n} } \end{eqnarray*}$

Nein, du nimmst nicht an, dass die Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ konvergiert. Vielmehr nimmst du die Definition von $\begin{align*} F_n \end{align*}$ und bildest

$\begin{eqnarray*} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{F_n + F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac{1}{\frac{F_n}{F_{n-1}}} \end{eqnarray*}$

Setzt du $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{F_n}{F_{n-1}} \end{eqnarray*}$ ,

dann kommst du zu deiner Rekursionsgleichung

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 1 + \frac 1 {a_n} \end{eqnarray*}$

Dies rekursiv eingesetzt erhält man

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 {1 + \frac {\ddots} {1 + a_1}}} \end{eqnarray*}$

Der Limes

$\begin{eqnarray*} \phi := \lim_{n\to\infty}a_{n+1} = 1 + \frac 1 {1 + \frac 1 { 1 + \frac 1 { \ddots }}} \end{eqnarray*}$

existiert, da

$\begin{eqnarray*} 0< \phi < 2 \end{eqnarray*}$

und die Definition wohldefiniert ist. Außerdem kann man an dem Kettenbruch sehen, dass folgende Gleichung für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \phi = 1 + \frac 1 \phi \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die quadratische Gleichung $\begin{eqnarray*} \phi ^2 -\phi - 1 =0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi = \frac{1+\sqrt 5}{2} \end{eqnarray*}$ .

16.02.2013, 19:04

RavenOnJ

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RE: FibonacciQuotient - Konvergenz

Zitat:

Original von ashu
Da sich diese Werte ab einem gewissen n nicht mehr unterscheiden, ...

, so darf man nicht argumentieren, da dies einfach falsch ist.

16.02.2013, 20:17

ashu

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Danke für deine ausführliche Antwort! Ich habe fast alles verstanden, allerdings verstehe ich nicht ganz, warum ich so nicht argumentieren darf. Ok, es ist unscharf formuliert, aber im Prinzip ist es doch Äquivalent zur Behauptung, dass jede konvergente Folge ein Cauchy-Folge ist.
Also das die Folgeglieder beliebig wenig voneinander abweichen!

Und was ich hier nicht verstehe ist, wieso man annehmen kann das hierwegen ein GW existiert:
$\begin{eqnarray*} 0< \phi < 2 \end{eqnarray*}$

Also, mir ist klar, dass der Limes zwischen 0 und 2 liegt, aber wieso kann man deshalb annehmen, dass die Folge konvergent ist?
-1^n liegt ja auch zwischen -1 und 1!
Es wäre ja theoretisch möglich, dass Phi zwischen 0 und 2 divergiert!

16.02.2013, 21:31

RavenOnJ

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Zitat:

Original von ashu
Und was ich hier nicht verstehe ist, wieso man annehmen kann das hierwegen ein GW existiert:
$\begin{eqnarray*} 0< \phi < 2 \end{eqnarray*}$

Also, mir ist klar, dass der Limes zwischen 0 und 2 liegt, aber wieso kann man deshalb annehmen, dass die Folge konvergent ist?

Es reicht nicht, dass die Folge beschränkt ist, um die Konvergenz zu garantieren. Ich hatte argumentiert, dass die Folge beschränkt ist und dass der Limes wohldefiniert ist, im Sinne von vollständiger und widerspruchsfreier Definition. Dies ist ausreichend für Konvergenz. Ein Limes $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(-1)^n \end{eqnarray*}$ ist nicht wohldefiniert, da er nicht existiert

16.02.2013, 21:50

ashu

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Du sagst Wohldefiniert und Beschränktheit ist hinreichend. Wie kann man dann aber erkennen, dass dies wohldefiniert ist? Ich weiß zwar was wohldefiniertheit bedeutet, aber im Zusammenhang mit dem Limes hab ich es noch nicht gehört. Ich kenne Wohldefiniertheit vor allem von Abbildungen. Wohldefiniertheit bedeutet ja sinngemäß, dass das was man da schreibt auch Sinn macht.

16.02.2013, 22:07

RavenOnJ

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Ja, das ist ein etwas weiterer Begriff von Wohldefiniertheit.

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