Konvergenz von Reihen

16.02.2013, 12:10

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz. Geben Sie bei den konvergenten Reihen an, ob
diese auch absolut konvergieren.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} ) - sin(\frac{1}{n+1} )= \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) \end{eqnarray*}$

Habs bisschen vereinfacht, aber weiter komme ich nicht mehr.

Bitte um hilfe.

Meine Ideen:
gepostet

16.02.2013, 12:16

shipwater

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Deine Vereinfachung ist aber falsch, oder wie begründest du diese? Das Stichwort hier ist Teleskopsumme.

Gruß Shipwater

16.02.2013, 12:16

zyko

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RE: Konvergenz von Reihen
Schreibe statt der unendlichen Summen erst mal endliche und lasse dann N gegen unendlich gehen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \left(sin(\frac{1}{n} ) - sin(\frac{1}{n+1} )\right)= \\ \sum\limits_{n=1}^N sin(\frac{1}{n} ) - \sum\limits_{n=1}^N sin(\frac{1}{n+1} ) = \\\sum\limits_{n=1}^N sin(\frac{1}{n} ) - \sum\limits_{n=2}^{N+1} sin(\frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Fasse jetzt gleiche Terme zusammen. Was bleibt übrig?

16.02.2013, 12:18

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Wenn ich n gegen unendlich gehen lasse kommt einfach 0 raus.

Und sin(0) = 0

Richtig?

16.02.2013, 12:21

shipwater

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Den Anfang hat zyko dir ja schon gezeigt. Nun ziehe aus der ersten Summe den ersten Summanden heraus und aus der zweiten Summe den letzten. Dann solltest du sehen, dass sich der Großteil weghebt.

Gruß Shipwater

16.02.2013, 12:28

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Meint ihr es so?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} ) - sin(\frac{1}{n+1} )= \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}* \sum\limits_{n=1}^\infty sin -sin \end{eqnarray*}$

16.02.2013, 12:31

shipwater

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Das ist grober Unfug... Hast du dir zyko seinen Beitrag überhaupt angeschaut?

Gruß Shipwater

16.02.2013, 12:32

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Zitat:

Original von shipwater
Den Anfang hat zyko dir ja schon gezeigt. Nun ziehe aus der ersten Summe den ersten Summanden heraus und aus der zweiten Summe den letzten. Dann solltest du sehen, dass sich der Großteil weghebt.

Gruß Shipwater

Was meinst du dann hiermit?

16.02.2013, 12:40

shipwater

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Mit "Nun ziehe aus der ersten Summe den ersten Summanden heraus" meine ich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^N \sin\left(\frac{1}{n}\right)=\sin\left(\frac{1}{1}\right)+\sum_{n=2}^N \sin\left(\frac{1}{n}\right)=\sin(1)+\sum_{n=2}^N \sin\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$
Ich hoffe du kannst dir damit nun denken was mit "und aus der zweiten Summe den letzten" gemeint ist. Und ich denke nachvollziehbar sollte die obige Rechnung auch sein, ist ja nur die Definition des Summenzeichens.

Gruß Shipwater

16.02.2013, 12:56

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} ) - sin(\frac{1}{n+1} )= sin(1)+ \sum\limits_{n=2}^\infty sin(\frac{1}{n}) + sin(\frac{1}{2} )+ \sum\limits_{n=2}^n sin(\frac{1}{n+1} ) \end{eqnarray*}$

ABer wie gehe ich genau weiter vor?

16.02.2013, 12:58

shipwater

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Du sollst zunächst endliche Summen betrachten, also vergiss mal das unendlich. Und du sollst nicht den ersten, sondern den letzten Summanden aus der hinteren Summe herausziehen. Try it again Augenzwinkern

Gruß Shipwater

16.02.2013, 13:15

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So in ordnung?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty sin(\frac{1}{n} ) - sin(\frac{1}{n+1} )= sin(1)+ \sum\limits_{n=2}^\infty sin(\frac{1}{n}) + sin(1 )+ \sum\limits_{n=2}^n 1/n + sin(\frac{1}{n+1} ) \end{eqnarray*}$

16.02.2013, 13:21

shipwater

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Mal wieder keine Ahnung was du da fabrizierst. Und nochmal: Ersetze das unendlich zunächst mal durch N.

Gruß Shipwater

16.02.2013, 13:28

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Ich verstehe nicht was ich dauern dfalsch mache

16.02.2013, 13:44

Jello Biafra

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Zitat:

Original von FM
Ich verstehe nicht was ich dauern dfalsch mache

Statt blind herumzurechnen solltest Du Dich mit den Hinweisen, die Du erhalten hast auseinandersetzen. Entscheidend ist der von shipwater heute um 12:16h.

Zitat:

Das Stichwort heißt 'Teleskopsumme'

Solange Du Dich nicht bemühst zu verstehen wie eine Teleskopsumme funktioniert, wird das nix!

Skript, Lehrbuch, Boardsuche, Google, Wiki, ... guck wo Du willst aber verstehen musst Du es selber.

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