Welcher Parameter lässt sich verändern

16.02.2013, 13:53	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Parameter lässt sich verändern Gegeben ist die Funktion: $\begin{eqnarray} g(x)=e^{-3x^2} \end{eqnarray}$ Die Funktion g wird durch die folgende Funktion für $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\sqrt{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ beschrieben. $\begin{eqnarray} g_{a, b, c}(x)=ae^{-(bx+c)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a,b,c,x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a, b > 0 \end{eqnarray}$ Die Funktion g kann durch f approximiert werden: $\begin{eqnarray} f(x)=-(x^2-1)^3 \end{eqnarray}$ Der Wert genau eines Parameter kann so verändert werden, dass $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ den gleichen Extrempunkt haben. Begründen Sie ohne Rechnung, welcher dieser Parameter verändert werden kann. _________________________________________ Der Extrempunkt ist: $\begin{eqnarray} P(0/1) \end{eqnarray}$ Es steht zwar da ohne Rechnung. Aber ich weiß nicht wie ich auf die Lösung kommen soll. Ich hatte es zuerst mit Rechnung gemacht. Da habe ich die Bedingungen aufgestellt: $\begin{eqnarray} g_{a,b,c}(0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{a,b,c}'(0)=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g_{a,b,c}'(x)=a(-2b^2x-2bc)e^{-b^2x^2-2bcx-c^2} \end{eqnarray}$ Und wenn ich die Bedingungen eingesetzt habe erhielt ich: $\begin{eqnarray} -2abce^{-c^2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ae^{-c^2}=1 \end{eqnarray}$ Das hat mir auch bis jetzt nicht sehr geholfen. Ich hatte dann noch die zweite Gleichung nach $\begin{eqnarray} e^{-c^2} \end{eqnarray}$ umgeformt und in die erste eingesetzt. Dann erhielt ich mit $\begin{eqnarray} e^{-c^{2}}=\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2bc=0 \end{eqnarray}$ und da ja $\begin{eqnarray} b>0 \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ sein. Damit wäre die Lösung: Der Parameter b darf verändert werden, damit der Extrempunkt von g mit dem von f übereinstimmt. _______________________________________ 1. Ist das richtig? 2. Aber woran sehe ich OHNE RECHNUNG, dass b die Lösung ist, wenn b richtig ist?
16.02.2013, 18:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Yu, um auf den Extrempunkt von f(x) zu kommen, musst du f(x) ableiten und diese Ableitung gleich 0 setzten. Dann den x-Wert ausrechnen. Bei der Ableitung ist es hier geschickt die Kettenregel anzuwenden. Sonst sieht alles sehr richtig aus. Probe: Ich würde jetzt mit den ermittelten Werten von a und c die Funktion $\begin{eqnarray} g_b(x) \end{eqnarray}$ aufschreiben. Dann die 2 Bedingungen, mit einem allgemeinen b, aufschreiben. Die Bedingungen sollten für jedes b gelten. Grüße.
06.04.2013, 20:59	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab nochmal drüber nachgedacht. Ja ich habe das Extremum übrigens schon ausgerechnet. Habs nur nicht hier nochmal explizit aufgeschrieben. $\begin{eqnarray} P(0/1) \end{eqnarray}$ Der x-Wert ist ja $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ . Es spielt also keine Rolle welchen Wert b hat, weil der Term ja $\begin{eqnarray} b \cdot x \end{eqnarray}$ lautet. Und für x=0 kommt für jedes b der gleiche Funktionswert raus. Nur a und c müssen festgelegt sein.

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