Grenzwerte mithilfe von Grenzwertsätzen berechnen

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16.02.2013, 15:48	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte mithilfe von Grenzwertsätzen berechnen Hallo, ich soll hier den Grenzwert mithilfe von den Grenzwertsätzen berechnen, allerdings fehlt mir da der Ansatz. Ein kleiner Tipp wäre nett Die Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x)= \lim_{x \to \infty }\frac{1}{1-\frac{1}{x} } \end{eqnarray}$ Wenn ich 1 einsetze, hat die Rechnung kein Ergebnis, demnach ist x=1 für die Funktion f nicht definiert. Nun soll ich den Grenzwert unbedingt mithilfe der Grenzwertsätze berechnen. Danke für eure Hilfe
16.02.2013, 16:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwerte mithilfe von Grenzwertsätzen berechnen Wenn du $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ untersuchen sollst dann wende doch einfach mal die Grenzwertsätze an.
16.02.2013, 16:58	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der gesuchte Satz wäre doch: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} x \frac{\lim_{x \to \infty}A}{\lim_{x \to \infty}B} \end{eqnarray}$ Das wäre doch dann: $\begin{eqnarray} \frac{A}{B} \end{eqnarray}$ Aber was nützt mir das? Wie geht es weiter?
16.02.2013, 17:45	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja dann schreib es doch mal anhand dieser Funktion auf. Dann sieht man doch schon förmlich wodrauf es hinausläuft.
16.02.2013, 18:01	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja mein Problem. Könntest du mir da bitte behilflich sein? Ich komme da einfach nur auf 1/(1-1/x) Da komm ich dann aber wieder nicht weiter.
16.02.2013, 18:40	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du betrachtest einmal den Grenzwert des Zählers als auch den Grenzwert des Nenners. Das sollst du nun einmal formal korrekt aufschreiben.
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16.02.2013, 18:48	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty b} \frac{\lim_{x \to \infty b} 1 }{\lim_{x \to \infty b} 1 - \lim_{x \to \infty b} \frac{1}{x} } = \frac{1}{1 - \frac{1}{x} } \end{eqnarray}$ Wenn ich 1 einsetze, geht es nicht. Bei 1,01 kommt irgendwas mit Hundert und bei 1,001 irgendwas mit Tausend, usw.
16.02.2013, 18:53	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist besser wenn du es folgendermaßen aufschreibst: $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\to\infty}1}{\lim_{x\to\infty}1-\frac{1}{x}}=... \end{eqnarray}$ Nun kannst du den Zähler und Nenner seperat betrachten. D.h. $\begin{eqnarray} Z=\lim_{x\to\infty}1=... \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N=\lim_{x\to\infty}1-\frac{1}{x}=... \end{eqnarray}$
16.02.2013, 19:41	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Zähler bleibt 1 und der Nenner wird immer größer, wenn x sich an 1 nähert.
16.02.2013, 20:24	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ ?
16.02.2013, 20:27	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ läuft gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ , also 0
16.02.2013, 20:28	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du antwortest nicht auf meine Frage oder wodrauf soll sich nun f(x) beziehen?
16.02.2013, 20:37	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0 \end{eqnarray}$ , wenn ich das richtig verstanden habe. Es sollte sich darauf beziehen.
16.02.2013, 20:42	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Was ist demnach $\begin{eqnarray} N=\lim_{x\to\infty}1-\frac{1}{x}=... \end{eqnarray}$ ?
16.02.2013, 20:50	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
1 Der Zähler auch. Demnach ist der Grenzwert 1?
16.02.2013, 20:51	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap! Jetzt haben wir es doch. Was ist demnach $\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\to\infty}1}{\lim_{x\to\infty}1-\frac{1}{x}}=... \end{eqnarray}$ ?
16.02.2013, 20:53	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{x}}=\frac{\lim_{x\to\infty}1}{\lim_{x\to\infty}1-\frac{1}{x}}=1 \end{eqnarray}$ Richtig?
16.02.2013, 20:55	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollkommen korrekt! Nun alles klar?
16.02.2013, 21:01	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Für diese Aufgabe ja. Vielen Dank Wie sieht es mit dieser Aufgabe aus? Ist das mit dem x->2 richtig? $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} \frac{2x-3}{2-x} = \frac{ \lim_{x \to \infty } 2x-3 }{\lim_{x \to \infty } 2-x} \end{eqnarray}$ Für x=2 nicht definiert, demnach x->2? $\begin{eqnarray} Z = \lim_{x \to 2 } 2x - 3 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N = \lim_{x \to 2 } 2 - x = 0 \end{eqnarray}$
16.02.2013, 21:27	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, nein. Du darfst doch nicht einfach in den Nenner die 2 einsetzen. Dort entsteht ein unbestimmter Ausdruck. Das was du machen kannst ist dir den Grenzwert in der Nähe von 2 anschauen. D.h. einmal von links und einmal von rechts.
16.02.2013, 21:47	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings soll ich auch dieses Mal die Grenzwertsätze verwenden. Das habe ich ja bereits, um es aufzuspalten. Jetzt soll ich die Testeinsetzung nutzen?
17.02.2013, 08:58	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, warum hier die Grenzwertsätze anwenden? Du musst doch lediglich dir einmal den Wert ein bisschen kleiner 2 und einmal ein bisschen größer 2 anschauen.
17.02.2013, 12:49	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Allerdings steht in der Aufgabenstellung, ich solle die Grenzwertsätze benutzen.
17.02.2013, 13:07	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wie dem auch sei. Dann mach das doch einfach mal mit x gegen 2 linksbetrachtet und einmal x gegen 2 rechtsbetrachtet.
17.02.2013, 13:15	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das was ich oben geschrieben habe?
17.02.2013, 13:19	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe es dir noch einmal ordentlich auf. $\begin{eqnarray} l\lim_{x \to 2} \frac{2x-3}{2-x} = \frac{ l\lim_{x \to 2 } 2x-3 }{l\lim_{x \to 2 } 2-x}=... \end{eqnarray}$ Wie geht es nun weiter?
17.02.2013, 13:22	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt den Zähler und den Nenner einzeln berechnen, oder?
17.02.2013, 13:26	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, kannst du machen.
17.02.2013, 13:27	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, wenn ich das mache, komme ich im Zähler auf 1 und im Nenner auf 0...
17.02.2013, 13:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst nicht einfach die 2 einsetzen sondern dich der zwei von links annähern, das ist ein Unterschied! Bitte jetzt einmal korrekt.
17.02.2013, 13:40	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja mein Problem. Wenn ich mich im Zähler der 2 an nähere kommt.oben 4-3 raus. Unten fast 0
17.02.2013, 13:42	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Setz doch einfach mal für x=1,999999 ein. Was kommt dann für Zähler und was für den Nenner raus?
17.02.2013, 13:46	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Zähler kommt 0.999998 und für den Nenner 0.000001 raus..
17.02.2013, 13:52	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bilde nun einmal den Quotienten. Was erhälst du dann?
17.02.2013, 13:56	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahl wird immer größer, also unendlich.
17.02.2013, 13:58	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt! Wie sieht es nun für den rechtsseitigen Grenzwert aus?
17.02.2013, 14:00	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kommt ebenfalls unendlich raus.
17.02.2013, 14:33	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte das Vorzeichen.
17.02.2013, 14:54	xxchucki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mittlerweile raus^^ Ich habe einfach durch x geteilt und dann die Regeln angewandt. Dadurch kam am Ende -2 raus.
17.02.2013, 14:56	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß ehrlich gesagt kein bisschen wie du auf diesen Wert kommst. Unendlich ist doch für den linksseitigen Grenzwert korrekt. Wenn du dir den rechtsseitigen Grenzwert anschaust erhälst du $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ .

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