Matrizen Übergänge zw Gruppen.

18.02.2007, 18:48

Sera

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Matrizen Übergänge zw Gruppen.

Hallihallo liebes MatheBoard

Die Vorabiklausur GK 13 steht an und ich kann mal wieder sehr wenig.

Den Anfang macht die Matrizenrechnung.Das bloße Aufstellen und das Multiplizieren kann ich bereits,aber nun tauchen solche seltsamen Wachstumsprozzesse auf.

Aufgabe abfotografiert:

http://img116.imageshack.us/img116/3787/cimg3149bb8.jpg

Und schon bei a) versage Ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wie genau gehe ich an diese Aufgabe 1 heran?Ich hoffe ich kann diese Aufgabe zusammen mit den netten Usern dieses Boardes lösen.

Liebe Grüße Sera

18.02.2007, 19:00

tigerbine

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RE: Matrizen Übergänge zw Gruppen.
Wie wäre es mit der Boardsuche?

Willkommen

Willkommen

18.02.2007, 19:23

Sera

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Naja ich wusste nichtmal das das Übergangsmatrizen sind und konnte deshalb nicht suchen. smile

smile

Ich arbeite den Thread mal durch und stelle weitere Fragen in meinem Thread.

Und danke für den Link und das Welcome Wink

Wink

Grüße Sera

edit:
Also aufgabe c) wäre schonmal:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} &G1&G2&G3 \\G1 & 0.8 & 0,1 & 0,1 \\ G2 & 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ G3& 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Bleiben nur noch die anderen 4 Aufgaben und da bin ich erstmal hilflos.
Angefangen mit A
Was genau ist denn mit Eingangswerten gemeint?Also 900000 wäre doch der Einganswert oder?Was istd er Ausgangswert?

19.02.2007, 17:08

Sera

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Kann mir denn niemand helfen?Ich bräcuhte nur ein paar Ansätze wie ich an diese Aufgaben rangehen kann unglücklich

unglücklich

.

Liebe Grüße Sera

19.02.2007, 17:32

tigerbine

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Die Matrix sieht richtig aus Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.8 & 0,1 & 0,1 \\ 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} G_1(t) \\ G_2(t) \\ G_3(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G_1(t+1) \\ G_2(t+1) \\ G_3(t+1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eingangswert: Gruppenaufteilung im Jahr t

Ausgangswert: Gruppenaufteilung im Jahr t+1

19.02.2007, 18:01

Sera

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Vielen Dank für die Hilfe.

Die 900000 spielen hier als garkeine Rolle?
t beschreibt also das Jahr,das wäre ja am Anfang 0 oder nicht?

Ist mit Ausgangswert und Einganswert eine spezifische Zahl gefragt oder eine Matrize?

edit:Juhu! Aufgabe b konnte ich mittlerweile auch lösen
G1 300000
G2 480000
G3 120000

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19.02.2007, 18:12

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} 900.000 = G_1(t)+G_2(t)+G_3(t),~t = 0,1,... \end{eqnarray*}$

Solange wir keine Steuerflüchtlinge haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

t beschriebt das Jahr, in dessen Mitte wir uns befinden...

EW, AW das sind die beiden Vektoren in obigen LGS "Ax=b"

19.02.2007, 18:43

Sera

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Nochmals Danke für die Antwort,aber das Hilft mir irgendwie nicht weiter.

Woher soll man denn wissen wie die 900000 am anfang auf die 3 Gruppen verteilt sind?

Und wie rechnet man zb. G1(1)? Einfach 0,8*1+0,1*1+0,1*1?

Grüße Sera

19.02.2007, 18:55

tigerbine

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1. In aufgabe b) ist eine Mögliche Anfangskonstellation gegeben. Man soll dann die Konstellation für das nächste Jahr berechnen. Es gelten die Rechenregeln der Matrizenmultiplikation.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 300.000 \\ 500.000 \\ 100.000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} G_1(t+1) \\ G_2(t+1) \\ G_3(t+1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.02.2007, 19:15

Sera

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Ja Aufgabe b habe ich ja bereits oben gelöst.

Aber mein Problem ist weiterhin a)

Und da Mathematik Aufgaben meist nach schwierigkeit chronologisch angeordnet sind kann a) doch noch schwer sein.Leider weiß ich ja nicht mal wie so ein Anfangs bzw Ausganswert in allg. Form aussieht und bin deshalb etwas hilflos was a) angeht.

Anfangswert klingt so als würde nach einer einzelnen Zahl fragen die sich dann verändert und zum Ausgangswert wird.

Grüße Sera

19.02.2007, 19:27

tigerbine

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Wie oft muss ich es noch schreiben?

Eingangswerte:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} G_1(t) \\ G_2(t) \\ G_3(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ausgangswerte:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} G_1(t+1) \\ G_2(t+1) \\ G_3(t+1) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Beide genügen der Bedingung:
$\begin{eqnarray*} 900.000 = G_1(t)+G_2(t)+G_3(t),~t = 0,1,... \end{eqnarray*}$

Es ist keine konkrete Aufteilung vorgegeben. Die folgt erst in Aufgabe b)

19.02.2007, 20:04

Sera

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Achso vielen vielen Dank,das ist also schon die komplette Lösung.

Ich dahcte es wär nur ein Lösungansatz ,den ich jetzt noch ausrechnen müsste smile

smile

Aufgabe d)wäre dann wohl:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.8 & 0,1 & 0,1 \\ 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 300.000 \\ 480.000 \\ 120.000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 300.000) \\ 468.000 \\ 132.000) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da bleibt nur noch die e)
Ich denke mal da muss ich einfach A*A rechnen und das Ergebnis dann einfach nochmal mal A rechnen.Richtig?

Falls die vermutung richtig ist gibt es doch bestimmt noch einen einfacheren weg,wenn man zum Beispiel statt nur 3 Jahren mal 20 Jahre ausrechnen muss,da müsste man ja dann 20 Multiplikationen vornehmen .

Geld für die Nachhilfestunde gibt es später Tigerbine,muss nur noch deine Kontonummer rausfinden smile

smile

Grüße Sera

19.02.2007, 20:11

tigerbine

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Also irgendwo hast Du dich bei d) verrechnet. Da müssen wir doch den Stand nach 2 Jahren berechnen?

e) Welche Potenz der Matrix A ist hier gesucht?

Ja, man kann das auch einfacher berechnen. Wenn du in den verlinkten Post schaust, dann hat Arthur dort die Matrix diagonalisiert. Dann lassen sich ihre Potenzen sehr leicht berechnen.

19.02.2007, 20:29

Sera

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Bei d) verrechnet?

Ich denke mal Aufgabe d) bezieht sich auf Aufgabe b) und man soll einfach nur 1 Zyklus weiterrechnen.Und da kommen meine Zahlen doch acuh genau hin.Kein Erwebstätiger ist mir verlorenb gegangen,es sind immer noch insgesammt 900000.

Bei b) errechnet man den Stand nach einem Jahr um,dann bei d) mit den Zahlen aus b),den stand nach zwei Jahren ausrechnen zu können.

Wo findest du einen Fehler?

Bei e) soll man von 2004 bis 2006 rechnen,wobei Mitte 2004 die Ausgangsmatrize darstellt,das wäre ja dann A*A*A.

Edit:das mit dem digonalisieren lasse Ich erstmal(denke nicht das es gefordert wird)u nd gehe die Multiplikationschiritte lieber erstmal einzeln.

Sera

19.02.2007, 20:41

tigerbine

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Mitte 2004

$\begin{eqnarray*} G_1 = 300.000,~G_2=500.000,~G_3=100.000 \end{eqnarray*}$

Mitte 2005

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 300.000 \\ 500.000 \\ 100.000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 300.000 \\ 480.000 \\ 120.000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1 = 300.000,~G_2=480.000,~G_3=120.000 \end{eqnarray*}$

Mitte 2006

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 300.000 \\ 500.000 \\ 100.000 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 300.000 \\ 468.000 \\ 132.000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_1 = 300.000,~G_2=468.000,~G_3=132.000 \end{eqnarray*}$

Sry, hatte nicht nachgerechnet und da haben mich die 300.000 irritiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie oft haben wir jetzt A benutzt?

19.02.2007, 21:14

Sera

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Nur 2 mal

Mmhh, dann bleibt es wohl bei e) bei einer einfachen Multiplikation:A*A

Damit wäre diese Aufgabe wohl abgehackt,auf das multipliziern selbst hab ich jetzt keine Lust,das kann ich smile

smile

Im weiteren tauchen aber noch weitere Übergangsmatriz-Aufgaben auf.

Ich formuliere sie mal so als wären sie für die Aufgabe oben:

e)Prüfe ob es sich um einen Austauschprozess handelt.

Wie genau beantworte man sowas?

f)Das Kleine land hat 900000 Arbeiter bestimme die Gleichgeschichtsverteilung für die Arbeiter

Bin nicht sicher ob da sbei der obigen Aufgabe überhaupt möglich ist.

Grüße Sera

19.02.2007, 21:22

tigerbine

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Austauschprozess:

Da bin ich jetzt überfragt...

Gleichgewichtsverteilung:

Wenn man A immer wieder mit sich selbst multipliziert, könnte es ja passieren, das man Ende auf eine Matrix trifft, bei der sich nichts mehr ändert. Hier bleibt es ja schon immer bei G1 =300.000

19.02.2007, 21:31

Sera

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Und wie errechnet man diese Gleichgewischtsverteilung?

19.02.2007, 21:42

tigerbine

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Da müßten wir wohl doch mal Diagonalisieren...

20.02.2007, 00:12

Bjoern1982

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Zitat:

e)Prüfe ob es sich um einen Austauschprozess handelt.

Wie genau beantworte man sowas?

Einfach zeigen dass die Summe in jeder Spalte 1 ergibt

Zitat:

f)Das Kleine land hat 900000 Arbeiter bestimme die Gleichgeschichtsverteilung für die Arbeiter

Gleichgewichtsverteilung bedeutet, dass man einen Vektor v findet, so dass dieser durch die Matrix wieder auf sich selbst abgebildet wird.
Es muss also für eine Matrix A bei einer Gleichgewichtsverteilung (oder auch stationäre Verteilung) folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} A\cdot \vec{v}= \vec{v} \end{eqnarray*}$

Gruß Björn

20.02.2007, 00:21

Sera

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Danke Björn

$\begin{eqnarray*} A\cdot \vec{v}= \vec{v} \end{eqnarray*}$

Also wäre das

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.8 & 0,1 & 0,1 \\ 0.2 & 0.8 & 0.2 \\ 0 & 0.1 & 0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus baue ich mir dann ein Gleichungsystem aus 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten und löse dieses?

Und fertig?

20.02.2007, 00:24

Bjoern1982

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Genauso gehts Freude

Freude

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