Konvergenz - Seite 2

17.02.2013, 13:58

+ x und - x ?

17.02.2013, 13:59

Che Netzer

Aha, die Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ nimmt also gleichzeitig die Werte $\begin{eqnarray*} +x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ an?

17.02.2013, 14:10

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Ja oder?

17.02.2013, 14:16

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Dann müsste die Reihe für negatives x konvergieren oder?

17.02.2013, 14:21

Che Netzer

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EINE Zahl nimmt also gleichzeitig ZWEI Werte an.
Z.B. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2^2}=2=-2 \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

17.02.2013, 14:42

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Ich dachte das wurzel aus x^2 = x ist ?

Weiss nicht was dann sonst sein soll?

17.02.2013, 14:46

Che Netzer

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Dann wäre also $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-2)^2}=\sqrt4=-2 \end{eqnarray*}$ ?

17.02.2013, 14:48

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Nein ich dachte es wäre einfach x?

Was mache ich falsch?

17.02.2013, 14:49

Che Netzer

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Ja, und für $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ wäre deiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=\sqrt{(-2)^2}=\sqrt4=-2 \end{eqnarray*}$ .
Erkennst du denn nun, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ im allgemeinen falsch ist? Und merkst du auch, für welche $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ das falsch ist?

17.02.2013, 14:51

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Ja für die negativen Zahlen oder?

Also gilt diese Bedingung nur für x >0 ?

17.02.2013, 14:59

Che Netzer

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Ganz langsam.
Wie sähe denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ für negatives $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus?
Und wie für allgemeines $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

17.02.2013, 15:02

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Für negatives:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(-x)^2} = -x \end{eqnarray*}$

Für allg. würde x rauskommen oder?

17.02.2013, 15:05

Che Netzer

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Zitat:

Für allg. würde x rauskommen oder?

Nein, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erhalten wir nur für $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ – haben wir doch gerade festgestellt.
Und ja, falls $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=-x \end{eqnarray*}$ .
Bastel das mal zusammen.

17.02.2013, 15:22

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für x > 0 kommt x raus.

für x < 0 kommt -x raus.

Oder wie soll ich das jetzt genau basteln?

17.02.2013, 15:24

Che Netzer

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Ja, also
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=\begin{cases}x&\text{falls}\ x\geq0\\-x&\text{falls}\ x<0\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Vergiss dabei den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht.

Woran erinnert dich denn obige Schreibweise?

17.02.2013, 15:26

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So ne art Fallunterscheidung oder?

Für x = 0 wäre es 0.

17.02.2013, 15:30

Che Netzer

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Ja, das ist eine Fallunterscheidung, gut beobachtet...

Dir ist doch aber hoffentlich schonmal ein anderer Ausdruck untergekommen, den man als $\begin{eqnarray*} \begin{cases}x&\text{falls}\ x\geq0\\-x&\text{falls}\ x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$ definiert hat.

17.02.2013, 15:31

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Ja aber es fällt mir nicht ein was es genau war.

Kannst du es mir sagen?

17.02.2013, 15:39

Che Netzer

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Das solltest du wirklich auf jeden Fall kennen!
Ich gebe dir mal ein paar Auswahlmöglichkeiten:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{sign}(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pm x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ .
Was davon ist als
$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x&\text{falls}\ x\geq0\\-x&\text{falls}\ x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$
definiert?

17.02.2013, 15:41

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Das müsste das signum sein oder ?

17.02.2013, 15:43

Che Netzer

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Nein. Das Signum gibt nur das Vorzeichen an. Das, was wir suchen, lässt sich aber als $\begin{eqnarray*} x\cdot\operatorname{sign}(x) \end{eqnarray*}$ darstellen.

Nächster Versuch...

17.02.2013, 15:46

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Ich versteh nicht so ganz .

Was muss ich denn genau machen?

17.02.2013, 15:47

Che Netzer

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Schlage entweder nach oder rate oder denk nach, welcher der Ausdrücke $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pm x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ als
$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x&\text{falls}\ x\geq0\\-x&\text{falls}\ x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$
definiert ist.
Das musst du nämlich wirklich wissen, das sollte Schulstoff sein.

17.02.2013, 15:53

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sign (x) = 1 falls die Zahl positiv ist.

sign(x) = -1 falls negativ

Ist x ungleich 0 dann:

sign(x) = x/|x|

Meinst du das?

17.02.2013, 15:55

Che Netzer

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Wenn ich sage, dass du einen der genannten Ausdrücke bennen sollst, der eine bestimmte Definition hat, dann meine ich damit wohl kaum, dass du mir einen völlig anderen definieren sollst.

17.02.2013, 15:58

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Dann müsste es der sin (x) sein oder?

17.02.2013, 16:00

Che Netzer

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Nein, der Sinus ist eine periodische Funktion:

Also wieder ein Kandidat weniger. Nun bleiben noch $\begin{eqnarray*} \lfloor x\rfloor \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pm x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$

17.02.2013, 16:01

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Ist es + - x ???

17.02.2013, 16:03

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} \pm x \end{eqnarray*}$ ist keine feste Zahl, sondern eine Schreibweise für einen Ausdruck, der entweder $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ sein kann – allerdings ohne sich auf einen der Terme festzulegen.

17.02.2013, 16:07

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Das hier ?

| x|

???

17.02.2013, 16:09

Che Netzer

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Ja. Und wenn du mir jetzt auch verraten kannst, wie sich das nennt, nehme ich dir halbwegs ab, dass das nicht nur geraten war. Halbwegs...

17.02.2013, 16:13

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Das ist der betrag von x ?

17.02.2013, 16:14

Che Netzer

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Ja, herzlichen Glückwunsch.
Wie lautet nun also die Bedingung, unter der die betrachtete Reihe konvergiert?

17.02.2013, 16:17

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Die reihe konvergiert für positives x Elemente oder?

17.02.2013, 16:18

Che Netzer

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Nein.
Wir hatten weiter oben eine Bedingung in Form einer Ungleichung.

17.02.2013, 16:22

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Für x < 0 konvergiert sie .

Das stimmt oder?

17.02.2013, 16:28

Che Netzer

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Nein. Wie sah denn die Ungleichung aus, die wir früher formuliert haben?

17.02.2013, 16:31

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ja, das ist eine Fallunterscheidung, gut beobachtet...

Dir ist doch aber hoffentlich schonmal ein anderer Ausdruck untergekommen, den man als $\begin{eqnarray*} \begin{cases}x&\text{falls}\ x\geq0\\-x&\text{falls}\ x<0\end{cases} \end{eqnarray*}$ definiert hat.

Du meinst das hier oder?

17.02.2013, 16:32

Che Netzer

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Das ist keine Ungleichung.
Eine solche hatten wir aber als Bedingung für die Konvergenz der Reihe.

17.02.2013, 16:36

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Zitat:

Original von AT
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2} > 2 \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich dann als nächstes ?

Du meinst wohl diese Ungleichung ?

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