Konvergenz komplexe Folge

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16.02.2013, 19:51	Matze9999	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz komplexe Folge Hallo, ich soll entscheiden, ob die folgende Folge konvergiert und ggf. den Grenzwert bestimmen. $\begin{eqnarray} a_{n} = \left(\frac{e^{\frac{i\pi}{n} } }{n} \right) \end{eqnarray}$ Ich habe leider keine Ahnung, wie ich vorgehen soll und bin für Tipps sehr dankbar
16.02.2013, 19:56	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du wirklich Folge, oder eher die von der Folge erzeugte Reihe? Falls du die Folge meinst, wäre es sinnvoll zu betrachten, ob der Betrag der Folge konvergiert.
16.02.2013, 20:04	Matze9999	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, "Entscheiden Sie, ob die folgenden reellen bzw. komplexen Folgen für n gegen unendlich konvergieren und bestimmen Sie ggf die Grenzwerte." Also ist die Folge gemeint
16.02.2013, 20:19	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hast du mit dem Tipp, den Betrag von der Folge zu betrachten, schon einen Ansatz?
16.02.2013, 20:30	Matze9999	Auf diesen Beitrag antworten »
Um den Betrag zu betrachten, muss die Folge doch erst mal in die Form z = a + ib gebracht werden oder? Leider weiß ich nicht wirklich, wie ich sie in diese Form bringen soll
16.02.2013, 20:39	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Was weißt du denn bislang über den Nenner?
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16.02.2013, 20:42	Matze9999	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich nur das er positiv ist und gegen unendlich strebt oder was meinst du genau?
16.02.2013, 20:46	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
~~wenn der Exponent reell wäre, wäre deine Antwort richtig, aber hier ist der Exponent rein imaginär.Nachzuschlagen ist in diesem Zusammenhang die Eulersche Formel.~~ edit: Dieser Post ist Mist, ich meinte in meiner Frage eigentlich den Zähler...
16.02.2013, 20:58	Matze9999	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde jetzt spontan sagen, dass $\begin{eqnarray} \|a_{n}\| = \| \frac{cos(\frac{\pi}{n})isin(\frac{\pi}{n} ) }{n} \| \end{eqnarray}$ ist. Die Frage ist nur, ob bzw. wie mich das weiterbringt?
16.02.2013, 21:20	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
In deinem Zähler müsste ein * durch ein + ersetzt werden. Ich behaupte, dass der Betrag deines Zählers nicht sehr groß wird, und der Betrag des Zählers das tut, was du behauptet hast. Es tut mir Leid, ich habe vorhin Zähler und Nenner verwechselt, der Nenner ist natürlich positiv, und strebt gegen unendlich; ich wollte eigentlich nach dem Zähler fragen.
16.02.2013, 22:27	Matze9999	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich weiß nicht genau wie groß der Zähler werden kann, aber er kann auf jeden Fall nicht größer als 2 werden. Das bedeutet also das die Folge gegen 0 konvergiert, da der Nenner ja immer größer wird. Wie schreibe ich denn sowas jetzt auch formal richtig auf? Wieso musste ich denn jetzt überhaupt den Betrag der Folge betrachten? Der hat doch gar nichts damit zu tun das die Folge < $\begin{eqnarray} \frac{2}{n} \end{eqnarray}$ ist?! Ich habe jetzt nochmal meine Lösung als Anhang hochgeladen.
16.02.2013, 22:43	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee, den Betrag zu betrachten, kam von folgender Äquivalenz: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_{n} = c \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} - c = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} abs(a_{n} - c) = 0 \end{eqnarray}$ Wie man leicht ausrechnen kann, ist der Betrag des Zählers sogar immer gleich 1. Aber 2 reicht natürlich auch. In deiner ersten Zeile fehlen bei a(n) noch Betragsstriche. Die Folge selbst besteht aus komplexen Zahlen. Deshalb brauchst du den Betrag, um festzulegen, welche Zahlen "klein" sind. Aber auch bei reellen Zahlen, reicht eine obere Schranke für die Konvergenz einer Folge noch nicht. Sobald du mit Beträgen arbeitest, hast du aber schonmal mit 0 automatisch eine untere Schranke.
17.02.2013, 00:54	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor ihr euch ganz verheddert: Es ist euch hoffentlich bekannt, dass $\begin{align} \|e^{\frac{i\pi}n} \|= 1 \end{align}$ , sowie $\begin{eqnarray} \Big\lvert \frac a b\Big\rvert = \frac{\|a\|}{\|b\|}, \forall a,b\in\mathbb C \end{eqnarray}$ Damit folgt: $\begin{eqnarray} \Big\lvert\frac{e^{\frac{i\pi}{n}}}{n} \Big\rvert = \frac{\lvert e^{\frac{i\pi}{n}}\rvert}{n} = \frac 1 n\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\Big\lvert\frac{e^{\frac{i\pi}{n}}}{n} \Big\rvert =\lim_{n\to\infty}\frac 1 n =0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\Big(\frac{e^{\frac{i\pi}{n}}}{n} \Big) = 0 \end{eqnarray}$ Die letzte Schlussfolgerung ist nur erlaubt, weil $\begin{align} \|a_n\| \end{align}$ eine Nullfolge ist. Man kann dies natürlich auch in der kartesischen Form berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\Big(\frac{e^{\frac{i\pi}{n}}}{n} \Big) =\lim_{n\to\infty}\frac{\cos(\frac\pi n) + i\sin(\frac \pi n)}{n} \stackrel{()}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{\cos(\frac\pi n) }{n}+ i\lim_{n\to\infty}\frac{ \sin(\frac \pi n)}{n} = 0 +i\cdot 0 = 0 \end{eqnarray}$ Die Identität () ist erlaubt, da beide Limites rechts vom Gleichheitszeichen konvergieren. Die dritte Identität folgt aus der Beschränkheit von Sinus und Cosinus.
17.02.2013, 01:53	JdPL	Auf diesen Beitrag antworten »
@RavenOnJ: "Bevor ihr euch ganz verheddert:" Ich habe zwar ein paar mal Zähler und Nenner verwechselt, aber ansonsten fand ich, dass wir ganz passabel durchgekommen sind. Mein letzter Post diente im Prinzip nur dazu noch einmal festzustellen, dass man nicht von $\begin{eqnarray} a_{n} < {2\over n} \end{eqnarray}$ sprechen kann, sondern man wirklich Beträge braucht. Mit der Äquivalenz die ich aufgeschrieben habe ist es auch bei komplexeren Funktionen teilweise etwas einfacher, einen erratenen Grenzwert zu beweisen. "Es ist euch hoffentlich bekannt, dass $\begin{eqnarray} \|e^{i\pi \over n}\| = 1 \end{eqnarray}$ " Ich habe es nicht besonders betont, weil die Abschätzung gegen 2 ausreicht aber ich hielt die Randbemerkung "Wie man leicht ausrechnen kann, ist der Betrag des Zählers sogar immer gleich 1." auch für erwähnenswert.^^ Der Rest deines Post steht, wenn auch nicht so schön ausformuliert bereits da?! Ehrlich gesagt bin ich etwas überrascht, dass du dir die Arbeit gemacht hast, alle Umformungen so ordentlich zu teXen aber scheinbar den letzten Post von mir nicht sorgfältig gelesen hast. edit: müsste bei deiner Signatur nicht noch ein "-" in einen der Exponenten?
17.02.2013, 01:58	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@jdpl OK, das "euch" nehme ich zurück. Du warst eigentlich auch nicht der Adressat . Ich hatte den Verdacht, der Fragesteller hat aufgegeben, da von ihm nichts mehr kam.

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