Grenzwerte, Konvergenz etc

17.02.2013, 08:56

Pauline21

Grenzwerte, Konvergenz etc

Meine Frage:
Guten Morgen. In paar Tagen schreibe ich Klausur und ich habe in der Übung wie auch jetzt noch Probleme mit Grenzwerten sprich diese zu bestimmen mit den gewählten Konvergenzkriterium. Das Abschätzen verstehe ich auch nicht ich habe sehr viele Bücher durchgeblättert um irgendwelche Regeln zu finden aber erfolglos. Ich weiß dann nicht wie ich vorgehen soll. Wenn jemand etwas hätte, was mir helfen könnte würde ich sehr dankbar sein.

Vielleicht könnte mir jemand also bisschen auf die Sprünge helfen und erstmal die grundlegenden Prinzipien erklären bevor man sich direkt an irgendeine Aufgabe hetzt.

Das ist sehr wichtig für mich und deshalb könnte ich meinen Dank echt nicht in Wort fassen, weil er wirklich groß wäre.

LG Paula

Meine Ideen:
Was ich so kann: l'Hospital, die Grundrechenarten bei dem Thema fehlt mir allgemein schon Verständnis.

17.02.2013, 12:46

Pauline21

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Also Tipps zum Abschätzen würde ich wirklich mit offenen Armen entgegen nehmen.

17.02.2013, 12:52

Che Netzer

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Eine allgemeine Vorgehensweise, die zur Berechnung (auch nur fast) jedes Grenzwertes verwendet werden kann, gibt es leider nicht.
Der allgemeinste Tipp ist noch der, den Grenzwert (mit Abschätzungen, Umformungen, Grenzwertsätzen o.a.) auf bekannte Grenzwerte zurückzuführen.
Auch merkt man mit etwas Übung leichter, wann welches Verfahren hilfreich wäre.

Hast du denn Probleme mit konkreten Grenzwertbestimmungen? Dabei könnten wir dir helfen.

17.02.2013, 13:31

Pauline21

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Ja ich hab einige Übungsaufgaben, aber ich würde gerne zuerst ein paar einfache rechnen, vielleicht hat jemand ja einige ?

17.02.2013, 13:36

Che Netzer

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Dann sag mal, welche Grenzwerte der folgenden Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ dir schon bekannt sind bzw. welche du berechnen könntest:

$\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac1{\sqrt n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n^2-n+2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac1n\right)^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac1{\ln n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten wäre es wohl am besten, wenn du direkt Fragen zu deinen Übungsaufgaben stellt, ggf. zu älteren, die vermutlich einfacher sind.

17.02.2013, 14:16

Pauline21

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Dies ist für den Anfang in Ordnung. Zu denen kommen wir später mein Wissen bzw. Verständnis ist nicht all zu hoch

$\begin{eqnarray*} \frac1n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac1{n^2} \end{eqnarray*}$ ,

Die Grenzwerte sind jeweils 0. Aber wie man das aufschreibt und berechnen ist mir nicht verständlich.

17.02.2013, 14:24

Che Netzer

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Dass $\begin{eqnarray*} \frac1n\to0 \end{eqnarray*}$ , zeigt man mit dem Epsilon-Delta-Kriterium.
Diesen Grenzwert dürft ihr aber ganz sicher als bekannt voraussetzen.
Für $\begin{eqnarray*} \frac1{n^2}\to0 \end{eqnarray*}$ kannst du einen Grenzwertsatz anwenden.
Vielleicht gehst du damit aber besser zunächst einmal in unseren Bereich für Schulmathematik.

17.02.2013, 14:40

Pauline21

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Ist das wirklich notwendig den Thread zu verlegen ? Die Aufgaben werden noch sicherlich überdurchschnittliches Hochschulniveau haben. Wie erkenne ich denn wie und wann ich welches Konvergenzkriterium verwenden soll ?

17.02.2013, 14:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von Pauline21
Wie erkenne ich denn wie und wann ich welches Konvergenzkriterium verwenden soll ?

Mit etwas Übung.

Na gut, dann fang doch mal mit der ersten deiner Übungsaufgaben an.

18.02.2013, 09:34

Pauline21

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Oki. Zu berechnen sind folgende Grenzwerte:

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 1} \frac{\sqrt{x^2 -2x+2}-\sqrt{x} }{1+\sqrt{x}-\sqrt{2}\sqrt{x^2+1}}; \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow 0} x^x ; \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 0} \frac{1}{x}\cdot (10^x -5^x) \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

die lassen sich ja am Besten mit l'Hospital lösen, wieso auch immer ?

Fangen wir mal mit d) an.

18.02.2013, 09:37

Che Netzer

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Gut, hier dann also die d).
Eröffne zu den anderen Grenzwerten aber jeweils einen neuen Thread.

Bringe als erstes $\begin{eqnarray*} \frac1{\sin x}-\frac1x \end{eqnarray*}$ auf einen gemeinsamen Nenner bzw. fasse die Brüche zusammen. Das hat noch nichts mit Grenzwertbildung zu tun.

18.02.2013, 09:42

Pauline21

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Die Formel von l'Hospital ist klar: $\begin{eqnarray*} \textstyle \lim \tfrac{f(x)}{g(x)}= \textstyle \lim \tfrac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$

Zuerst gleichnamige Nenner erzeugen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x})=\frac{x-sin(x)}{x\cdot sin(x)} \end{eqnarray*}$

ja... ich eröffne einen neuen Thread, die Konvergenz Aufgaben kommen ja auch noch

18.02.2013, 09:44

Che Netzer

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Die Zusammenfassung der Brüche stimmt, aber dir ist ein $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0} \end{eqnarray*}$ verloren gegangen.
Jetzt überprüfe, ob ein unbestimmter Ausdruck vorliegt. Wenn ja, kannst du l'Hospital anwenden.

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