Galoisgruppe berechnen

17.02.2013, 11:54

Splinter

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Galoisgruppe berechnen

Hallo zusammen,
ich schreibe morgen eine Algebra Klausur und hänge hier irgendwie fest.
Die Aufgabe:
f(x)= x^4-6x^2+4 aus Q[x]
Jetzt soll ich die Galoisgruppe berechnen und sagen, wieviele Zwischenkörper K mit Q K L gibt es $\begin{eqnarray*} Q\subseteq K\subseteq L \end{eqnarray*}$ (das gleich darunter soll durchgestrichen sein).
Okay mit p=e weiß ich, dass f nach Eisenstein irreduzibel ist.
Die Nullstellen sind:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3-\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{3+\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{3-\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$
und diese sind alle nicht aus Z.

jetzt haben wir irgendwo stehen:
falls f reduzible, dann gilt: f=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
(Warum macht man das?)
Und dann macht man den Koeffizientenvergleich:
i)c+a=0
ii)d+ac+b=-6
iii)ad+bc=0
iv)bd=4

also ist c=-a
und aus iv) folgt dann dass a=0 oder b=d
dann ist ja b+d=-6 und bd=4 (jetzt haben wir geschrieben, dass das keine Lösung in Z ist..kapier ich nicht.
wen b=d folgt, b^2=4 (und warum ist das nicht aus Z?)

Wie bildet man jetzt den Zerfällungskörper?
Ist das immer Q(der positiven Nullstelle?) oder wie funktioniert das?

Danke für Hilfe!!!

17.02.2013, 16:06

tmo

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Wir betrachten das Ganze mal etwas allgemeiner und nehmen die Gleichung $\begin{eqnarray*} f = x^4+px^2+r \end{eqnarray*}$ .

Die Nullstellen seien $\begin{eqnarray*} \pm \alpha, \pm \beta \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \alpha \beta = \sqrt{r} \end{eqnarray*}$ . (Warum?).

In unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{r} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Was können wir daher über den Grad des Zerfällungskörper aussagen?

PS: Zur Irreduzibilität: Eisenstein greift hier leider nicht. Aber, dass die Gleichungen b+d=-6 und bd=4 keine ganzzahligen Lösungen zulassen, is doch recht offensichtlich. Letztere Gleichung hat ja nur wenige ganzzahlige Lösungen. Die erfüllen aber alle nicht die erste.

17.02.2013, 19:10

Splinter

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Dass die nicht ganzzahlig sind, hab ich eben dann auch gesehen :P

Dass Eisenstein nicht greift, versteh ich auch, da mit p=2 aber p^2 die 4 teilt. Aber warum ist das dann irreduzibel?

Ich weiß nicht, was das über den Zerfällungskörper aussagt. Ich versteh schon gar nicht so richtig, was das überhaupt ist...

17.02.2013, 19:14

tmo

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Zitat:

Original von Splinter
Dass Eisenstein nicht greift, versteh ich auch, da mit p=2 aber p^2 die 4 teilt. Aber warum ist das dann irreduzibel?

Eisenstein ist hinreichend, aber nicht notwendig.

Zitat:

Original von Splinter
Ich weiß nicht, was das über den Zerfällungskörper aussagt. Ich versteh schon gar nicht so richtig, was das überhaupt ist...

Da wir hier ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ sind, kann man es salopp so ausdrücken.

Sind $\begin{eqnarray*} x_1, \dotsc, x_m \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so ist der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(x_1, \dotsc, x_m) \end{eqnarray*}$ .

Da sich hier je 2 Nullstellen paarweise nur um das Vorzeichen unterscheiden, ist der Zerfällungskörper hier $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha, \beta) \end{eqnarray*}$ . Es bleibt aber die Frage, ob dieser Grad 8 hat (d.h. $\begin{eqnarray*} \beta \notin \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ ) oder ob er Grad 4 hat ( $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist selbst schon der Zerfällungskörper).

Und was das angeht, spielt die Information, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{r} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt, eine entscheidende Rolle.

17.02.2013, 19:46

Splinter

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Wegen der Irreduzibilität reicht es doch auch, wenn man 4 reelle Nullstellen hat um das zu sagen oder?

Und über den Grad würde ich sagen, dass der 4 ist, weil man doch alpha durch beta darstellen kann, oder?

17.02.2013, 19:59

tmo

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Zitat:

Original von Splinter
Wegen der Irreduzibilität reicht es doch auch, wenn man 4 reelle Nullstellen hat um das zu sagen oder?

Nein eben nicht. Wenn "Irreduzibel" und "keine Nullstellen haben" dasselbe wäre, würde man keinen Begriff dafür einführen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Splinter
Und über den Grad würde ich sagen, dass der 4 ist, weil man doch alpha durch beta darstellen kann, oder?

Das ist richtig.

Was folgerst du damit für die Galoisgruppe?

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17.02.2013, 20:11

Splinter

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Okay, aber wie zeig ich dann, dass das irreduzibel ist? hab schon f(-2,-1,+1,+2) und sowas rumprobiert, aber das hilft auch nichts....

Für die Galoisgruppe heißt das dann, dass sie zu einer Untergruppe von S4 isomorph ist oder?

17.02.2013, 20:14

Splinter

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Falls das mit der UG stimmt, dann ist die Ordnung davon doch 4! und die soll ich dann aufschreiben!?

17.02.2013, 20:15

tmo

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Zitat:

Original von Splinter
Okay, aber wie zeig ich dann, dass das irreduzibel ist? hab schon f(-2,-1,+1,+2) und sowas rumprobiert, aber das hilft auch nichts....

Das ist doch im ersten Beitrag bereits geschehen? verwirrt

verwirrt

Wenn es eine Zerlegung gibt, so sind die Koeffizienten ganzzahlig (Lemma von Gauss), jedoch führt eine ganzzahlige Zerlegung zu einem Widerspruch. Ich dachte das wäre abgehakt.

Zitat:

Original von Splinter
Für die Galoisgruppe heißt das dann, dass sie zu einer Untergruppe von S4 isomorph ist oder?

Ja, aber das war von vorne herein klar (Gilt bei jedem Polynom vierten Grades).

Aber du kannst doch jetzt etwas über die Mächtigkeit der Galoisgruppe aussagen. Und von Gruppen dieser Mächtigkeit gibt es nicht allzu viele. Daher sind wir eigentlich fast fertig.

17.02.2013, 20:19

Splinter

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[quote]Wenn es eine Zerlegung gibt, so sind die Koeffizienten ganzzahlig (Lemma von Gauss), jedoch führt eine ganzzahlige Zerlegung zu einem Widerspruch. Ich dachte das wäre abgehakt.

Ups ja sorry ...

Also irgendwie finde ich dazu nichts in meinem Skript....Was sagt das denn über die Mächtigkeit aus? unglücklich

unglücklich

17.02.2013, 20:21

tmo

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Du hast eine Körpererweiterung vom Grad 4. Dann weißt du doch sofort, wie groß die Galosigruppe ist. Wenn du morgen eine Klausur schreibst, sollte das aber aus der Pistole geschossen kommen...

17.02.2013, 20:26

Splinter

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äh der teilt die Ordnung von Gal(f)?:P

17.02.2013, 20:44

Splinter

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Wenn ich das jetzt richtig gefunden habe, müssen die gleich sein.

Okay, das heißt die Galoisgruppe hat 4 Elemente. Und welche sind das genau?

17.02.2013, 20:57

tmo

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Die Frage solltest du beantworten.

Die Elemente der Galoisgruppe sind ja Automorphismen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Ein solches $\begin{eqnarray*} \tau \in \operatorname{Aut}(\mathbb Q(\alpha)) \end{eqnarray*}$ ist eindeutig durch $\begin{eqnarray*} \tau(\alpha) \end{eqnarray*}$ bestimmt. Welche Möglichkeiten gibt es nun für $\begin{eqnarray*} \tau(\alpha) \end{eqnarray*}$ ?

edit: Vorher solltest du vielleicht aber auch noch bestimmen, welche Gruppen mit 4 Elementen es gibt. Und wie man die voneinander unterscheiden kann. Denn irgendwie müssen wir ja herausfinden, welche Gruppe wir hier vorliegen haben.

17.02.2013, 21:06

Splinter

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Also wenn ich doch jetzt die Nullstellen $\begin{eqnarray*} \pm \alpha und \pm \beta \end{eqnarray*}$ raus habe und mein Zerfällungskörper hat Grad 4, weil alpha durch beta darstellbar ist. Und mann kann ja sagen, dass Gal(f) transitiv auf die Nullstellen operiert (da f irreduzibel) hat man ein Element § aus Gal(f), dass durch §(alpha) bestimmt wird.
Also müssten 4 verschiedene § existieren?

18.02.2013, 17:41

tmo

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Ja, dass es 4 Stück gibt, haben wir doch vorher schon gesehen.

Du musst jetzt mal mind. 1 oder 2 solcher Automorphismen angeben (abgesehen von der Identität) und insbesondere ihre Ordnung bestimmen. Denn nur so kannst du herausfinden, wie die Galoisgruppe aussieht.

Fangen wir mal an:

Da die Galoisgruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ transitiv auf den Nullstellen operiert, gibt es ein $\begin{eqnarray*} \tau \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tau(\alpha) = - \alpha \end{eqnarray*}$ .

Was ist dann $\begin{eqnarray*} \tau(\beta) \end{eqnarray*}$ ? Und welche Ordnung hat $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ?

Und weiter:

Es gibt auch ein $\begin{eqnarray*} \sigma \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma(\alpha) = \beta \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} \sigma(\beta) \end{eqnarray*}$ ? Tipp: Benutze $\begin{eqnarray*} \alpha\beta \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Wir wirkt also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \alpha\beta \end{eqnarray*}$ ?

Welche Ordnung hat $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du diese Fragen beantwortet hast, hast du die Galoisgruppe schon vollständig klassifiziert.

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