Wurzelrechnung

23.07.2004, 11:01

m³

Wurzelrechnung

Hallo zusammen,

ich hab hier einen Ausschnitt einer Aufgabe, weiß aber nicht wie ich zu diesem Ergebnis kommen soll.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{D^2}{3}} = + - \frac{D}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ soweit ist ja alles klar.

Aber warum ist das dann .

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt{3}}{3}D \end{eqnarray*}$ verwirrt

23.07.2004, 11:10

therisen

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Hallo m³,
$\begin{eqnarray*} \frac{D}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$ wird mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ erweitert :]

Und du weißt ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{a \cdot b}{c}= \frac{a}{c} \cdot b \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

23.07.2004, 11:18

m³

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Na logisch :P

Dank dir. Manchmal steht man auf der Leitung

23.07.2004, 14:19

flixgott

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und warum verschwindet plötzlich das +- ?

23.07.2004, 14:22

hummma

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warum erscheit des +- ueberhaupt?

23.07.2004, 14:23

flixgott

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weil (-D)²=D²

23.07.2004, 15:00

therisen

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Zitat:

Original von flixgott
und warum verschwindet plötzlich das +- ?

Du hast recht, das +- darf ansich nicht verschwinden. Eventuell fällt aber die negative Lösung auf Grund der Aufgabenstellung, die uns unbekannt ist, weg.

23.07.2004, 16:46

Poff

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Zitat:

Original von flixgott
weil (-D)²=D²

... na, hier wären wir wieder bei dem leidigen Problem:

sqrt(D²/3) = + D/3*sqrt(3) := einziges Resultat (D >= 0)

allerdings liefert (-1*Resultat)^2 ebenfalls den Wurzelradikanden
ist aber per 'Def' <> sqrt(D²/3)

die Threaderstellerin sollte sich davon allerdings nicht verwirren lassen

.

23.07.2004, 17:27

flixgott

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welche definition besagt den sowas? ob ich nun D oder -D einsetzte hat doch nicht mal was mit dem wurzelradikanten zu tun!

23.07.2004, 18:05

grybl

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Nachdem unter der Wurzel D² steht, ist es ziemlich egal ob D>0 oder D<0 ist. smile

23.07.2004, 18:43

Poff

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Zitat:

Original von grybl
Nachdem unter der Wurzel D² steht, ist es ziemlich egal ob D>0 oder D<0 ist. smile

nein ist nicht egal.

für D < 0 ist

sqrt(D²/3) = - D/3*sqrt(3)

weil 'sqrt' als Zuordnung in IR+ definiert ist

Zitat:

Original von flixgott
welche definition besagt den sowas? ob ich nun D oder -D einsetzte hat doch nicht mal was mit dem wurzelradikanten zu tun!

aber was mit dem Wurzelresultat ...

.

24.07.2004, 08:41

grybl

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@Poff

Kannst du bitte deine Aussage genauer kommentieren.

Wir sind uns einig verwirrt

, dass unter der Wurzel (Radikand) etwas positives oder 0 stehen muss, sonst ist die Wurzel in den reelen Zahlen nicht auflösbar.

Rechne mal auf dem TR $\begin{align*} \sqr{(-5)^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sqr{(+5)^2} \end{align*}$ . Wo liegt da der Unterschied im Ergebnis? verwirrt

24.07.2004, 11:12

hummma

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Bei der disskusion faehlt mir grad des ein:

$\begin{eqnarray*} 2x=3y | *3y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x*3y=9y^2 \end{eqnarray*}$ | Ersetze im linken teil 3y duch (9y-6y)
$\begin{eqnarray*} 2x*(9y-6y)=9y^2 \end{eqnarray*}$ | Ersetze im linken Teil9y durch 6x folgt aus 2x=3y
$\begin{eqnarray*} 2x*(6x-6y)=9y^2 \end{eqnarray*}$ | Ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} 12x^2*12xy = 9y^2 \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} +4x^2 -20xy+16y^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 16x^2-32xy+16y^2=4x^2-20xy+25y^2 \end{eqnarray*}$ | Binomische Formel
$\begin{eqnarray*} (4x-4y)^2=(2x-5y)^2 \end{eqnarray*}$ | Wurzel ziehen
$\begin{eqnarray*} 4x-4y= 2x-5y \end{eqnarray*}$ | Im rechten teil 2y durch 3y ersetzen
$\begin{eqnarray*} 4x*4y=-2y | :2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x-2y=-y | +6y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+4y=5y \end{eqnarray*}$ | links einsetzen 2x= 3y
$\begin{eqnarray*} 3y+4y=5y \end{eqnarray*}$ | ausrechnen
$\begin{eqnarray*} 7y=5y | :y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 7=5 \end{eqnarray*}$ q.e.d.

24.07.2004, 11:53

SirJective

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Zitat:

Original von grybl
Rechne mal auf dem TR $\begin{align*} \sqr{(-5)^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sqr{(+5)^2} \end{align*}$ . Wo liegt da der Unterschied im Ergebnis? verwirrt

Hallo grybl.

Es kommt beide mal 5 raus, also einmal
+ (5)
und einmal
- (-5).

Für negative D (z.B. D = -5) ist die Wurzel von D^2 eben die positive Zahl -D.

Gruss,
SirJective

24.07.2004, 12:02

flixgott

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also ich bin immernoch der meinung das es egal ist, ich hab auch bisher noch nirgendwo anders solche einwände gehört, es gilt doch folgendes:

f : A->B g: B->C dann gilt g(f) : A -> C

nimmt jetzt mal g als die wurzelfunktion (B und C sind somit die nicht negativen reelen zahlen) und f als quadratfunktion (A ist also die komplette reele achse). ich bilde jetzt also mit g(f) von der reellen zahlen in die nicht negativen reellen zahlen ab. da ich diese abbildung zerlegen kann (g und f) verletzte ich ja auch keine definition, der definitions bereich der wurzel ist ja der wertebereich der quadratfunktion.

24.07.2004, 12:26

grybl

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@Sir Jective

Ich stelle gar nicht in Frage, dass $\begin{align*} \sqr{a^2} = a \end{align*}$ für $\begin{align*} a \geq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sqr{a^2}=-a \end{align*}$ für $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ (das sieht der "Endverbraucher" bei der Verwendung von Zahlen für a aber nicht) und ist ja auch beim partiellen Wurzelziehen in dieser Aufgabe berücksichtigt worden.
Was mich überhaupt zu einer Meldung "provoziert" hat war

Zitat:

Orginal von Poff
sqrt(D²/3) = + D/3*sqrt(3) := einziges Resultat (D >= 0)

allerdings liefert (-1*Resultat)^2 ebenfalls den Wurzelradikanden
ist aber per 'Def' <> sqrt(D²/3)

Entweder ich stehe da auf der Leitung oder verwirrt

24.07.2004, 12:51

SirJective

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Hallo grybl,

nach dem dritten ( geschockt

) Durchlesen von Poffs Beitrag stelle ich darin einen kleinen Fehler fest:

allerdings liefert (-1*Resultat)^2 ebenfalls den Wurzelradikanden
ist aber per 'Def' <> sqrt(D²/3)

Er meint sicher, dass (-1*Resultat) per Definition ungleich
sqrt((D^2)/3) =: Resultat >= 0
ist, obwohl (-1*Resultat)^2 gleich (D^2)/3 ist.

Dass der Radikand der Wurzel nicht negativ sein darf, damit eine reelle Wurzel existiert, darin sind wir uns einig.
Auch darin, dass die Quadratwurzel als die positive Wurzel definiert ist.
Poff wollte wohl sagen, dass trotzdem auch die negative Wurzel eine Quadratwurzel ist. (Was beim Lösen von Gleichungen beachtet werden muss, siehe auch therisens Anmerkung bzgl. der Aufgabenstellung.)

@Flixgott:
Das Ergebnis des Wurzelziehens ist dasselbe, egal ob du
a = sqrt((+D)^2)
oder
b = sqrt((-D)^2)
berechnest, nur ist es gleich +D oder gleich -D, je nachdem, ob D>=0 oder D<=0 ist (und das unabhängig davon, ob du a oder b bestimmst).

Gruss,
SirJective

24.07.2004, 13:24

grybl

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Zitat:

Orginal Sir Jective
Er meint sicher, dass (-1*Resultat) per Definition ungleich
sqrt((D^2)/3) =: Resultat >= 0
ist, obwohl (-1*Resultat)^2 gleich (D^2)/3 ist.

Aha, das versteh ich jetzt. :]

24.07.2004, 16:47

Poff

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Zitat:

...
nach dem dritten ( geschockt

) Durchlesen von Poffs Beitrag stelle ich darin einen kleinen Fehler fest:
...

allerdings liefert (-1*Resultat)^2 ebenfalls den Wurzelradikanden
ist aber per 'Def' <> sqrt(D²/3)

das ist noch nicht mal ein Fehler, denn
(-1*Resultat)^2 ist stets <> sqrt(D²/3) mal von D=0 abgesehen.
(nur, diese 'Banalität' bringt Null zum Thema)

... deshalb richtig, das war logo nicht gemeint und die mögliche
'Fehldeutbarkeit' hab ich kurz darauf sogar bemerkt

aber nicht für nötig empfunden es zu 'verbessern', dieweil die
Einwände ALLE auf andere Ziele hinausliefen und ich daran NICHT
erkennen konnte dass das etwas mit jener Auslegungsmöglichkeit
von oben zu tun haben könnte.
Das kann ich übrigens noch IMMER nicht sehen.

Aber,
manchmal muss man eben auch einen nicht VOLL ausgeschrieb-
enen 'TextSchritt' hinzudenken, dieweil es anders einfach keinen
Sinn macht ...

gemeint war dies:
allerdings liefert (-1*Resultat)^2 ebenfalls den Wurzelradikanden,
(-1*Resultat) ist aber per 'Def' <> sqrt(D²/3)

und was unter Resultat zu verstehen war, hatte ich ja festgemacht.

Augenzwinkern

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