Adjungierten Operator bestimmen

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17.02.2013, 14:29	kaffeetante1	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierten Operator bestimmen Meine Frage: hallo, ich habe mal eine frage zur bestimmung des adjungierten operators zu $\begin{eqnarray} T\colon\ell^2\to\ell^2, (x_n)\mapsto\left(\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\right) \end{eqnarray}$ ich habe ja quasi zwei möglichkeiten den adjungierten operator zu bestimmen: 1.) ausnutzen das $\begin{eqnarray} \ell^2 \end{eqnarray}$ hilbertraum ist mit skalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle (x_n),(y_n)\rangle=\sum\limits_{n\geq 1}x_n\overline{y_n} \end{eqnarray}$ und dann den ansatz machen $\begin{eqnarray} \langle Tx,y\rangle=\sum\limits_{n\geq 1}\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\overline{y_n} \end{eqnarray}$ . da muss ich jetzt ja irgendwie auf $\begin{eqnarray} \langle x,T^y\rangle \end{eqnarray}$ umformen um den adjungierten operator zu bekommen 2.) ausnutzen das man einen isometrischen isomorphismus $\begin{eqnarray} S\colon \ell^2 \to (\ell^2)' \end{eqnarray}$ gegeben hat durch $\begin{eqnarray} (Sx)(y)=\sum\limits_{n\geq 1}x_ny_n \end{eqnarray}$ und dann damit zum Ziel kommen. Ich würd gern erstmal den ersten weg machen (er erscheint mir eigentlich weniger aufwänsig). aber ich komme da oben nicht weiter. Meine Ideen:* $\begin{eqnarray} \langle Tx,y\rangle=\sum\limits_{n\geq 1}\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\overline{y_n} \end{eqnarray}$ aber wie weiter machen um auf etwas zu kommen, das $\begin{eqnarray} \langle x,T^\rangle \end{eqnarray*}$ ist?
17.02.2013, 14:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierten Operator bestimmen Der erste Weg hört sich in der Tat sinnvoller an. Die nun erhaltene Reihe musst du so umformen, dass sie die Form $\begin{eqnarray} \sum_{n\geq1}x_n\cdot? \end{eqnarray}$ hat.
17.02.2013, 14:57	kaffeetante1	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo che netzer also naja ich dachte an sowas $\begin{eqnarray} \langle Tx,y\rangle_{\ell^2}=\sum\limits_{n\geq 1}\frac{x_n+x_{n+1}}{2}\overline{y_n}=\sum\limits_{n\geq 1}x_n\cdot\left(\frac{\overline{y_n}}{2}+\frac{x_{n+1}\overline{y_n}}{2x_n}\right) \end{eqnarray}$ aber es kommt mir falsch vor
17.02.2013, 14:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, rechts darf ja kein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ mehr vorkommen. Aber welcher Faktor steht denn neben $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ ?
17.02.2013, 15:03	kaffeetante1	Auf diesen Beitrag antworten »
verstehe nicht was du meinst bzw. wie ich die x aus dem rechten faktor rausholen kann
17.02.2013, 15:08	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Du möchtest ja eine Summe über $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ mal "irgendetwas" haben. Dieses Irgendetwas musst du jetzt bestimmen, also fasse alle Faktoren neben $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \sum (Tx)_ny_n \end{eqnarray}$ zu diesem Irgendetwas zusammen.
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17.02.2013, 15:25	kaffeetante1	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich $\begin{eqnarray} \langle Tx,y\rangle_{\ell^2}=\sum\limits_{n\geq 1}x_n\cdot\frac{\overline{y_n}}{2}+\sum\limits_{n\geq 2}x_n\cdot\frac{\overline{y_{n-1}}}{2}=x_1\frac{\overline{y_1}}{2}+\sum\limits_{n\geq 2}x_n\cdot\left(\frac{\overline{y_n}}{2}+\frac{\overline{y_{n-1}}}{2}\right) \end{eqnarray}$
17.02.2013, 15:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau Kannst du jetzt auch ablesen, was $\begin{eqnarray} T^y \end{eqnarray*}$ ist?
17.02.2013, 15:31	kaffeetante1	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber der eine Summand vor der Summe stört mich irgendwie noch - kann der da einfach so stehen bleiben?! also der adjungierte operator dürfte dann gegeben sein durch $\begin{eqnarray} T^\colon \ell^2\to\ell^2, (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\mapsto\left(\frac{a_n+a_{n-1}}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , richtig?
17.02.2013, 15:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein. Für $\begin{eqnarray} n\geq2 \end{eqnarray}$ stimmt der Ausdruck für $\begin{eqnarray} (Ta)_n \end{eqnarray}$ . Aber für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ müsstest du entweder $\begin{eqnarray} \frac{a_1}2 \end{eqnarray}$ als Komponente einzeln aufführen – also $\begin{eqnarray} \left(\frac{a_1}2,\frac{a_1+a_2}2,\dotsc,\frac{a_n+a_{n-1}}2,\dotsc\right) \end{eqnarray}$ – oder $\begin{eqnarray} a_0:=0 \end{eqnarray}$ einführen. Das dürfte auch die Frage nach dem störenden einen Summanden klären.
17.02.2013, 15:36	kaffeetante1	Auf diesen Beitrag antworten »
danke!

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