Komplexe Gleichung, kleine Frage

17.02.2013, 19:25

Namron

Komplexe Gleichung, kleine Frage

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} (z²+2i)²+4 = 0? \end{eqnarray*}$

Angeben in algebraischen Form.

Mein Ansatz:
Ich hab es aufgelöst ganz einfach bis auf:

$\begin{eqnarray*} (z²+2i)²+4 = 0 \end{eqnarray*}$
..
z^4= -2

Was mach ich jetzt?

17.02.2013, 19:35

Namron

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RE: Komplexe Gleichung, kleine Frage
z^4 heißt ich hab 4 Lösungen oder verwechsel ich das gerade?

17.02.2013, 19:38

Hoodaly

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RE: Komplexe Gleichung, kleine Frage
Hallo,

versuche, die Polardarstellung von z zu finden. Dabei hilft, dass
$\begin{eqnarray*} z^n=|z|^n\cdot(\cos{(n\cdot \varphi)} + i \sin{(n\cdot \varphi)}) \end{eqnarray*}$
Und ja, es gibt n Lösungen.

Viele Grüße,
Hoodaly

17.02.2013, 19:45

Namron

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RE: Komplexe Gleichung, kleine Frage
Ich versteh leider nicht ganz was du mir sagen willst und wie man das macht..

17.02.2013, 19:53

ImbaMario

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Tschuldigung, dass ich mich einmische, aber wie kommst du überhaupt von $\begin{eqnarray*} (z^{4}+2i)^{2} = 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} z^{4} = -2 \end{eqnarray*}$ ?

17.02.2013, 19:59

Namron

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RE: Komplexe Gleichung, kleine Frage

Zitat:

Original von Namron
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} (z²+2i)²+4 = 0? \end{eqnarray*}$

nicht:

Zitat:

Original von ImbaMario
$\begin{eqnarray*} (z^{4}+2i)^{2} = 0 \end{eqnarray*}$

17.02.2013, 19:59

Hoodaly

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RE: Komplexe Gleichung, kleine Frage
$\begin{eqnarray*} z^4 = -2 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} |z^4|=|-2| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |z|^4=2 \end{eqnarray*}$ . Damit ist der erste Teil der Polarform, der Betrag, abgehakt.
Jetzt zur Phase. Das Vorzeichen ist ein Minus, die Zahl hat keinen Imaginärteil.
Also soll $\begin{eqnarray*} |z|^4 \end{eqnarray*}$ quasi um 180° um den Ursprung gedreht werden. Genau diesen Winkel gibt die Phase an, das sieht man auch, wenn man cos(180°)=-1, sin(180°)=0 berechnet und einsetzt.
Also muss die Phase, $\begin{eqnarray*} 4\varphi, =180^\circ \end{eqnarray*}$ sein, bzw. weil ja auch 540° quasi "anderthalb mal rumdrehen" ist, $\begin{eqnarray*} 4\varphi=180°+360^\circ*k \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Also: für welche $\begin{eqnarray*} \varphi < 360^\circ \end{eqnarray*}$ gilt das?

17.02.2013, 20:00

ImbaMario

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Ups sorry aber ich wollte genau das schreiben smile

Trotzdem ist mir nicht ganz klar wie du dann auf $\begin{eqnarray*} z^{4} = -2 \end{eqnarray*}$ kommst.

17.02.2013, 20:06

Namron

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Warte ImbaMario, ich werd es dir sagen, wenn ich das hier verstanden hab ok?

Nur für das Erste oder?

17.02.2013, 20:09

Namron

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Aber die algebraische Darstellung ist doch z = a+ib.
Ich versteh nicht was ich hier mit der Polardarstellung soll..

17.02.2013, 20:14

Namron

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Hmm ich glaub langsam ich hab meine Ursprungsgleichung falsch aufgelöst..

17.02.2013, 20:17

Hoodaly

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In der Polardarstellung ist's einfacher. Schreib' doch auch -2 in Polarform:
$\begin{eqnarray*} -2 = |-2|\cdot(\cos{180^\circ}+i\sin{180^\circ}) \end{eqnarray*}$
Das und z^4 muss jetzt in Betrag und Phase übereinstimmen, damit es am Ende die gleiche Zahl ist.
Und weil für die Polarform die Gleichung gilt, die ich als erstes geschrieben habe, sieht man die Lösung sofort Augenzwinkern

Ja, z^4=-2 ist nicht die Lösung. Aber mach ruhig damit weiter, das Prinzip ist auch wichtig.

17.02.2013, 20:25

Namron

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Welche Lösung sieht man für was sofort? Ich stehe wohl voll auf dem Schlauch.. sorry.

17.02.2013, 20:46

Namron

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Angeblich wurde die Aufgabe von einem Tutor vorgerechnet und sah wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} (z²+2i)²= -4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z²+2i= \pm 2\sqrt{i} \end{eqnarray*}$

Kann das stimme oder muss evtl. die 2i links noch weg?

17.02.2013, 20:50

tmp31415926

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Als Alternativlösung wollte ich nur zwischendurch anmerken, dass man im Kopf sofort auf die Lösungen kommt, wenn man nicht zuerst ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} (z²+2i)²+4=0\Leftrightarrow (z²+2i)²=-4\overset{\text{sofort ersichtlich}}{\Leftrightarrow}z²+2i=\pm 2i \end{eqnarray*}$

Die erste dieser Lösungen gibt eine doppelte Lösung bei z=0, die zweite eine weitere quadratische Gleichung, die man allerdings auch im Kopf ausrechnen kann, da im Einheitskreis der Real- und Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3i\pi}{4}} \end{eqnarray*}$ trivial zu erkennen ist.

Dabei erkennt man übrigens auch, dass

Zitat:

Original von ImbaMario
Trotzdem ist mir nicht ganz klar wie du dann auf $\begin{eqnarray*} z^{4} = -2 \end{eqnarray*}$ kommst.

vollkommen richtig erkannt wurde, denn es muss ausmultipliziert heissen $\begin{eqnarray*} z^4+4iz²=0 \end{eqnarray*}$ um auf eben erwähnte doppelte Lösung bei z=0 zu kommen und auch auf die weiteren.

17.02.2013, 20:55

Hoodaly

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Schreiben wir's mal übereinander:
$\begin{eqnarray*} \begin{aligned}z^4&=&|z|^4&\cdot(\cos{4\cdot\varphi}&+&i\sin{4\cdot\varphi})\\-2&=&|-2|&\cdot(\cos{180^\circ}&+&i\sin{180^\circ})\end{aligned} \end{eqnarray*}$
Zwei komplexe Zahlen stimmen nur dann überein, wenn auch Betrag und Phase übereinstimmen.
Wir wollen, dass z^4=-2, also muss auch |z|^4=|-2| und $\begin{eqnarray*} 4\cdot\varphi=180^\circ \end{eqnarray*}$ sein.
Für den Betrag ist also $\begin{eqnarray*} |z|=\sqrt[4]{|-2|} \end{eqnarray*}$ .
Für den Winkel gibt es mehrere Möglichkeiten. $\begin{eqnarray*} \varphi=45^\circ \end{eqnarray*}$ zum Beispiel.
Weil aber auch $\begin{eqnarray*} 4\varphi=540^\circ \end{eqnarray*}$ sein kann, da sich die Sinus- und Kosinuswerte ja alle 360° wiederholen, kann auch $\begin{eqnarray*} \varphi=135^\circ \end{eqnarray*}$ sein. So findet man 4 Lösungen mit $\begin{eqnarray*} \varphi<360^\circ \end{eqnarray*}$ .
Dann kann man, wenn man will, die Zahlen noch in die algebraische Form bringen.
War das jetzt verständlich?

17.02.2013, 21:16

Namron

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Jo, danke dir!

17.02.2013, 21:29

Hoodaly

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Gerne

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