Integralrechnung

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17.02.2013, 21:14	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung Meine Frage: hallo komme bei dieser Aufgabe nicht weiter: Verwenden Sie die Substitutionsregel, um die folgenden Integrale zu berechnen $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{x^2 + 2x +2} } \, dx \end{eqnarray}$ Was nehme ich hier als substitution? Meine Ideen: keine
17.02.2013, 21:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Oft ist es zielführend eine innere Funktion zu substituieren (Kettenregel).
17.02.2013, 21:18	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung Der Radikant im Nenner fällt doch förmlich in's Auge.
17.02.2013, 21:23	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{x^2 + 2x +2} } \, dx = \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{(x + 2)^2} } \, dx = \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{x +2 } \, dx \end{eqnarray}$ Jetzt PBZ anwenden?
17.02.2013, 21:25	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt hinten und vorne nicht. $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{x^2 + 2x +2} } \, dx \end{eqnarray}$ ist ungleich $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{(x + 2)^2} } \, dx \end{eqnarray}$ Das sollte man aber auch merken wenn man das Binom einfach mal ausmultipliziert. Substituiere doch einfach mal den Radikanten.
17.02.2013, 21:26	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich den term unter der Wurzel substituieren?
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17.02.2013, 21:29	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, genau.
17.02.2013, 21:33	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Und es heißt Radikand
17.02.2013, 21:35	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hätte ich das stehen: $\begin{eqnarray} \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{x^2 + 2x +2} } \, dx = \int_0^2 \! \frac{x+ 1 }{\sqrt{u}(2x+2) } \, du \end{eqnarray*}$ Aber was mache ich jetzt weiter?
17.02.2013, 21:37	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
@Bjoern1982 Natürlich! @int2 Wenn du substituierst musst du die Grenzen mit substituieren oder du bestimmst erst generell eine Stammfunktion und setzt anschließend die Grenzen ein. Probier doch einfach mal im Nenner etwas auszuklammern und zu kürzen.
17.02.2013, 21:40	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll ich 1/2 vor das Integral ziehen?
17.02.2013, 21:41	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre mal eine Maßnahme.
17.02.2013, 21:42	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann machen oder? Oder war die idee blöd?
17.02.2013, 21:44	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, dass kann man machen. Ich möchte dir aber ungern jeden Schritt vorkauen. Probier es doch einfach mal selber und wenn etwas schief geht dann sag ich dir schon wo der Fehler liegt.
17.02.2013, 21:52	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bekomme das raus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sqrt{u}+C \end{eqnarray}$ Stimmts? Jetzt nur rücks. und grenzen einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$
17.02.2013, 21:56	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Stammfunktion passt allerdings die $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray}$ kann ich nicht bestätigen. Schreib doch einfach mal deine Rechnung auf.
17.02.2013, 21:59	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
1/2 * $\begin{eqnarray} \sqrt{1^2 + 21+2} \end{eqnarray*}$ das ergibt dann das ergebnis
17.02.2013, 22:02	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stammfunktion lautet doch: $\begin{eqnarray} \left[\frac{1}{2}\sqrt{x^2+2x+2}\right]_0^2 \end{eqnarray}$ Jetzt die obere minus die untere Grenze rechnen.
17.02.2013, 22:04	int2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach hab den fehler danke.
17.02.2013, 22:05	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Ursache. Ich hoffe es ist nun alles klar?` Edit: Ich habe im nachhinein gemerkt das deine berechnete Stammfunktion falsch ist! Sie muss $\begin{eqnarray} \sqrt{u} \end{eqnarray}$ lauten und nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\sqrt{u} \end{eqnarray}$ !

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